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--[[Usuario:Ricardo velasco bazán|Ricardo velasco bazán]] ([[Usuario discusión:Ricardo velasco bazán|discusión]]) 02:41 6 nov 2012 (UTC)
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'''1.24 Demuestre que <math> I \subseteq \mathbb{R}</math> es conexo si y sólo si <math>I</math> es un intervalo.'''
Sea <math> I = [a,b], a,b \in \mathbb{R}, a < b </math>, y sea <math> A </math> un subconjunto abierto de <math>I</math> tal que <math> a \in A</math> y <math> A \ne I </math> (como <math> a \in A </math>, <math>A</math> no es abierto en <math> \mathbb{R} </math>, pero si en <math>I</math>, es decir, <math>A</math> es abierto relativo a <math>I</math>). Si se prueba que <math>A</math> no es también cerrado, entonces se habrá probado que <math>I</math> es conexo.
Puesto que <math>A</math> es abierto, existe un <math> \epsilon > 0 </math> tal que <math> [a, a + \epsilon ) \subset A </math>. Sea <math>r</math> el mayor <math>\epsilon</math> para el cual <math> [a, a + \epsilon ) \subset A </math>, es decir <math> r = sup \left \{ \epsilon : [a, a + \epsilon ) \subset A \right \}</math>. De este modo se tiene que <math> [a, a + r ) \subset A </math>, pero <math> a + r \notin A </math>, por que de lo contrario, puesto que <math>A</math> es abierto, habría un <math> \delta > 0 </math> tal que <math> [a, a + r + \delta ) \subset A </math>, contradiciendo la definición de <math>r</math>. Luego <math> a + r \notin A </math>, y por tanto <math> a + r \in I - A </math>. Si <math>A</math> es también cerrado, entonces <math>I - A</math> es abierto, y por tanto se puede encontrar un <math> \delta > 0 </math> tal que <math> [a + r - \delta, a + r + \delta ) \subset I - A </math>, lo cual contradice el hecho de que <math> [a, a + r ) \subset A </math>. Por lo tanto, <math>A</math> no puede ser cerrado.
Ahora supóngase que <math>I</math> no es un intervalo, entonces existen dos puntos <math>a,b \in I, a < b </math>, tal que <math> (a,b) \nsubseteq I </math> (un teorema afirma que <math>I</math> es un intervalo si y sólo si para cualquier par de puntos <math>a,b \in I</math>, con <math>a < b </math> se tiene que <math>(a,b) \subset I </math>). Entonces, existe un punto <math> c \notin I </math> tal que <math> a < c < b </math>. Como <math> a \in (- \infty , c ) </math> y <math> b \in ( c, \infty ) </math> se tiene que <math> I = ( I \cap (-\infty , c) ) \cup ( I \cap ( c, \infty ) ) </math>, donde <math> (I \cap ( - \infty, c ) ) </math> y <math> (I \cap (c, \infty)) </math> son conjuntos disjuntos no vacíos. Por lo tanto, <math>I</math> no es conexo.
--[[Usuario:Ricardo velasco bazán|Ricardo velasco bazán]] ([[Usuario discusión:Ricardo velasco bazán|discusión]]) 03:18 6 nov 2012 (UTC)


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Revisión del 22:18 5 nov 2012

La topología del plano complejo

1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Sea Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.

Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que , procederemos por contradicción.

Supongamos que y<0, entonces

=

Esto es una contradicción

  y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado

--Cecilia Carrizosa Muñoz (discusión)


1.18 Describa los siguientes subconjuntos de

a)

Solución

Sea , z=a+ib. Si la parte Im(z)>0 entonces b>0. la parte imaginaria de z {Im(z)}es una línea horizontal b>0

b) Solución

Sea , z=a+ib. Si la parte , entonces la parte Real de z {Re(z)}es una línea vertical

c)

Solución

Sea y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1| ||

Es una circunferencia con centro en (1,0) y radio 2

d)

Solución

Sea y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1|>2 ||>2 > 4 Es una circunferencia con centro en (0,1) y radio 2

e)

Solución

Sea y z=a+ib, como b>0 y

f) ,

Solución

Sea y z=a+ib, como b>0 y , , entonces hay una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1

Cesar (discusión)


1.19 Sea . Demuestre que:

(a) es abierto si y sólo si .

(b) es cerrado si y sólo si .


(a) Si es abierto, entonces para cada z ∈ existe un tal que . Vemos que la unión de todas las bolas es . Además, esta unión es igual al interior de a saber, , puesto que para cualquier subconjunto abierto de se tiene que Error al representar (error de sintaxis): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}. Luego .

Por otro lado, si , entonces es abierto por que es abierto.


(b) Si es cerrado, entonces , por que es el superconjunto cerrado más pequeño de .

Por otra parte, si entonces es cerrado debido a que es cerrado por definición.

--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)


1.20 Sea . Demuestre que:

(a) .

(b) .

(c) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0} .

(d) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} .


(a)

  • P.D.

Sabemos que

Entonces y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.

De manera que , pues el interior de un conjunto () es el mayor abierto contenido en ese conjunto ()

  • P.D.

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} , entonces Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega por que .

Como Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega , se tiene que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega y también que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} ya que .

Puesto que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0} , es decir, al complemento del interior de .

Tenemos entonces que , de donde .

  • Ya que y , podemos decir que .

(b)

Sabemos que .

Ahora, del inciso anterior, , si . Sea ,

entonces: .

Y así .

(c)

Tenemos que Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ] .

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ] (puesto que )

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0} (por el inciso anterior)

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} ) .

(d)

Veamos a la frontera Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega como el conjunto de puntos que NO están en el interior ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con , es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en ). El exterior de es el interior de , o sea el conjunto .

Así, Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}

Sabemos del inciso (a) que y del inciso (b) que .

De tal forma que .

--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)


1.21 Sea . Demuestre que:

(a) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0} si y sólo si existe tal que .

Si Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0} entonces existe un tal que , por que es abierto. Como , resulta que . En la otra dirección, si para algún , entonces por ser un conjunto abierto, se tiene que Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0} , por que es la unión de todos los subconjuntos abiertos de

(b) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{-} si y sólo si para todo se tiene que

Supóngase que Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{-} , por 1.20 (b) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ∈ (\mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0}) y de este modo . Con esto y por el inciso anterior, se obtiene que para cada , . De esta forma, para cada hay un punto que no pertenece a , con lo cual , y así . Ahora supóngase que , entonces , y por el inciso anterior existe un tal que . De esto se obtiene que .

--Ricardo velasco bazán (discusión) 02:41 6 nov 2012 (UTC)


1.24 Demuestre que es conexo si y sólo si es un intervalo.

Sea , y sea un subconjunto abierto de tal que y (como , no es abierto en , pero si en , es decir, es abierto relativo a ). Si se prueba que no es también cerrado, entonces se habrá probado que es conexo.

Puesto que es abierto, existe un tal que . Sea el mayor para el cual , es decir . De este modo se tiene que , pero , por que de lo contrario, puesto que es abierto, habría un tal que , contradiciendo la definición de . Luego , y por tanto . Si es también cerrado, entonces es abierto, y por tanto se puede encontrar un tal que , lo cual contradice el hecho de que . Por lo tanto, no puede ser cerrado.

Ahora supóngase que no es un intervalo, entonces existen dos puntos , tal que (un teorema afirma que es un intervalo si y sólo si para cualquier par de puntos , con se tiene que ). Entonces, existe un punto tal que . Como y se tiene que , donde y son conjuntos disjuntos no vacíos. Por lo tanto, no es conexo.

--Ricardo velasco bazán (discusión) 03:18 6 nov 2012 (UTC)


FUENTES (INFORMACIÓN ADICIONAL):

LEYES DE MORGAN