Diferencia entre revisiones de «Compleja:z-ej-cap1.1»
Sin resumen de edición |
Sin resumen de edición |
||
Línea 177: | Línea 177: | ||
--[[Usuario:Ricardo velasco bazán|Ricardo velasco bazán]] ([[Usuario discusión:Ricardo velasco bazán|discusión]]) 02:41 6 nov 2012 (UTC) | --[[Usuario:Ricardo velasco bazán|Ricardo velasco bazán]] ([[Usuario discusión:Ricardo velasco bazán|discusión]]) 02:41 6 nov 2012 (UTC) | ||
---- | |||
'''1.24 Demuestre que <math> I \subseteq \mathbb{R}</math> es conexo si y sólo si <math>I</math> es un intervalo.''' | |||
Sea <math> I = [a,b], a,b \in \mathbb{R}, a < b </math>, y sea <math> A </math> un subconjunto abierto de <math>I</math> tal que <math> a \in A</math> y <math> A \ne I </math> (como <math> a \in A </math>, <math>A</math> no es abierto en <math> \mathbb{R} </math>, pero si en <math>I</math>, es decir, <math>A</math> es abierto relativo a <math>I</math>). Si se prueba que <math>A</math> no es también cerrado, entonces se habrá probado que <math>I</math> es conexo. | |||
Puesto que <math>A</math> es abierto, existe un <math> \epsilon > 0 </math> tal que <math> [a, a + \epsilon ) \subset A </math>. Sea <math>r</math> el mayor <math>\epsilon</math> para el cual <math> [a, a + \epsilon ) \subset A </math>, es decir <math> r = sup \left \{ \epsilon : [a, a + \epsilon ) \subset A \right \}</math>. De este modo se tiene que <math> [a, a + r ) \subset A </math>, pero <math> a + r \notin A </math>, por que de lo contrario, puesto que <math>A</math> es abierto, habría un <math> \delta > 0 </math> tal que <math> [a, a + r + \delta ) \subset A </math>, contradiciendo la definición de <math>r</math>. Luego <math> a + r \notin A </math>, y por tanto <math> a + r \in I - A </math>. Si <math>A</math> es también cerrado, entonces <math>I - A</math> es abierto, y por tanto se puede encontrar un <math> \delta > 0 </math> tal que <math> [a + r - \delta, a + r + \delta ) \subset I - A </math>, lo cual contradice el hecho de que <math> [a, a + r ) \subset A </math>. Por lo tanto, <math>A</math> no puede ser cerrado. | |||
Ahora supóngase que <math>I</math> no es un intervalo, entonces existen dos puntos <math>a,b \in I, a < b </math>, tal que <math> (a,b) \nsubseteq I </math> (un teorema afirma que <math>I</math> es un intervalo si y sólo si para cualquier par de puntos <math>a,b \in I</math>, con <math>a < b </math> se tiene que <math>(a,b) \subset I </math>). Entonces, existe un punto <math> c \notin I </math> tal que <math> a < c < b </math>. Como <math> a \in (- \infty , c ) </math> y <math> b \in ( c, \infty ) </math> se tiene que <math> I = ( I \cap (-\infty , c) ) \cup ( I \cap ( c, \infty ) ) </math>, donde <math> (I \cap ( - \infty, c ) ) </math> y <math> (I \cap (c, \infty)) </math> son conjuntos disjuntos no vacíos. Por lo tanto, <math>I</math> no es conexo. | |||
--[[Usuario:Ricardo velasco bazán|Ricardo velasco bazán]] ([[Usuario discusión:Ricardo velasco bazán|discusión]]) 03:18 6 nov 2012 (UTC) | |||
---- | ---- |
Revisión del 22:18 5 nov 2012
La topología del plano complejo
1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado
Demostración
Sea Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.
Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que , procederemos por contradicción.
Supongamos que y<0, entonces
=
Esto es una contradicción
y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado
--Cecilia Carrizosa Muñoz (discusión)
1.18 Describa los siguientes subconjuntos de
a)
Solución
Sea , z=a+ib. Si la parte Im(z)>0 entonces b>0. la parte imaginaria de z {Im(z)}es una línea horizontal b>0
b) Solución
Sea , z=a+ib. Si la parte , entonces la parte Real de z {Re(z)}es una línea vertical
c)
Solución
Sea y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1| ||
Es una circunferencia con centro en (1,0) y radio 2
d)
Solución
Sea y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1|>2 ||>2 > 4 Es una circunferencia con centro en (0,1) y radio 2
e)
Solución
Sea y z=a+ib, como b>0 y
f) ,
Solución
Sea y z=a+ib, como b>0 y , , entonces hay una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1
1.19 Sea . Demuestre que:
(a) es abierto si y sólo si .
(b) es cerrado si y sólo si .
(a) Si es abierto, entonces para cada z ∈ existe un tal que . Vemos que la unión de todas las bolas es . Además, esta unión es igual al interior de a saber, , puesto que para cualquier subconjunto abierto de se tiene que Error al representar (error de sintaxis): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}.
Luego .
Por otro lado, si , entonces es abierto por que es abierto.
(b) Si es cerrado, entonces , por que es el superconjunto cerrado más pequeño de .
Por otra parte, si entonces es cerrado debido a que es cerrado por definición.
--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)
1.20 Sea . Demuestre que:
(a) .
(b) .
(c) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0} .
(d) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} .
(a)
- P.D.
Sabemos que
Entonces y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.
De manera que , pues el interior de un conjunto () es el mayor abierto contenido en ese conjunto ()
- P.D.
Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} , entonces Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega por que .
Como Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega , se tiene que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega y también que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} ya que .
Puesto que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0} , es decir, al complemento del interior de .
Tenemos entonces que , de donde .
- Ya que y , podemos decir que .
(b)
Sabemos que .
Ahora, del inciso anterior, , si . Sea ,
entonces: .
Y así .
(c)
Tenemos que Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ] .
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ] (puesto que )
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0} (por el inciso anterior)
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} ) .
(d)
Veamos a la frontera Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega como el conjunto de puntos que NO están en el interior ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con , es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en ). El exterior de es el interior de , o sea el conjunto .
Así, Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}
Sabemos del inciso (a) que y del inciso (b) que .
De tal forma que .
--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)
1.21 Sea . Demuestre que:
(a) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0} si y sólo si existe tal que .
Si Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0} entonces existe un tal que , por que es abierto. Como , resulta que . En la otra dirección, si para algún , entonces por ser un conjunto abierto, se tiene que Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{0} , por que es la unión de todos los subconjuntos abiertos de
(b) Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{-} si y sólo si para todo se tiene que
Supóngase que Error al representar (error de sintaxis): z ∈ \Omega ^{-} , por 1.20 (b) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ∈ (\mathbb{C} - ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0}) y de este modo . Con esto y por el inciso anterior, se obtiene que para cada , . De esta forma, para cada hay un punto que no pertenece a , con lo cual , y así . Ahora supóngase que , entonces , y por el inciso anterior existe un tal que . De esto se obtiene que .
--Ricardo velasco bazán (discusión) 02:41 6 nov 2012 (UTC)
1.24 Demuestre que es conexo si y sólo si es un intervalo.
Sea , y sea un subconjunto abierto de tal que y (como , no es abierto en , pero si en , es decir, es abierto relativo a ). Si se prueba que no es también cerrado, entonces se habrá probado que es conexo.
Puesto que es abierto, existe un tal que . Sea el mayor para el cual , es decir . De este modo se tiene que , pero , por que de lo contrario, puesto que es abierto, habría un tal que , contradiciendo la definición de . Luego , y por tanto . Si es también cerrado, entonces es abierto, y por tanto se puede encontrar un tal que , lo cual contradice el hecho de que . Por lo tanto, no puede ser cerrado.
Ahora supóngase que no es un intervalo, entonces existen dos puntos , tal que (un teorema afirma que es un intervalo si y sólo si para cualquier par de puntos , con se tiene que ). Entonces, existe un punto tal que . Como y se tiene que , donde y son conjuntos disjuntos no vacíos. Por lo tanto, no es conexo.
--Ricardo velasco bazán (discusión) 03:18 6 nov 2012 (UTC)
FUENTES (INFORMACIÓN ADICIONAL):