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1.18 '''Describa los siguientes subconjuntos de <math> \mathbb{C} </math>''' | |||
a)<math>{z\in \mathbb{C}: Im(z)>0}</math> | |||
Solución | |||
Sea <math>z\in \mathbb{C}</math>, '''z=a+ib'''. Si la parte '''Im(z)>0''' entonces '''b>0'''. | |||
<math>\therefore</math> la parte imaginaria de '''z {Im(z)}'''es una línea horizontal b>0 | |||
b)<math>{z\in \mathbb{C}: Re(z)>\frac{3}{2}} | |||
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Solución | |||
Sea <math>z\in \mathbb{C}</math>, '''z=a+ib'''. Si la parte <math>{Re(z)>\frac{3}{2}}</math>, entonces | |||
<math>|a|>\frac{3}{2}</math> | |||
<math>\therefore</math> la parte Real de '''z {Re(z)}'''es una línea vertical <math>a>\frac{3}{2}</math> | |||
c)<math>{z\in \mathbb{C}: |z-1|\leq2}</math> | |||
Solución | |||
Sea <math>z\in \mathbb{C}</math> y '''z=a+ib''', entonces | |||
|z-1|=|a+ib-1|<math>\leq 2</math> | |||
<math>\Rightarrow</math>|<math>a-1+b</math>|<math>\leq 2</math> | |||
<math>\Rightarrow</math><math>(a-1)^2+b^2</math><math>\leq 4</math> | |||
<math>\therefore</math> Es una circunferencia con '''centro en (1,0)''' y '''radio 2''' | |||
d) <math>z\in \mathbb{C}:|z+1|>2</math> | |||
Solución | |||
Sea <math>z\in \mathbb{C}</math> y '''z=a+ib''', entonces | |||
|z-1|=|a+ib-1|>2 | |||
<math>\Rightarrow</math>|<math>a-1+b</math>|>2 | |||
<math>\Rightarrow</math><math>(a-1)^2+b^2</math>> 4 | |||
<math>\therefore</math> Es una circunferencia con '''centro en (0,1)''' y '''radio 2''' | |||
e) <math>z\in \mathbb{C}:Im(z)>0, \frac{-1}{2}\leq Re(z)\leq \frac{1}{2}</math> | |||
Solución | |||
Sea <math>z\in \mathbb{C}</math> y '''z=a+ib''', como | |||
'''b>0''' y <math>\frac{-1}{2}\leq a\leq \frac{1}{2}</math> | |||
<math>\therefore</math><math>z\in (\frac{-1}{2},\frac{1}{2})</math> | |||
f) <math>z\in \mathbb{C}:Im(z)>0, \frac{-1}{2}\leq Re(z)\leq \frac{1}{2}</math>,<math>|z|\geq 1</math> | |||
Solución | |||
Sea <math>z\in \mathbb{C}</math> y '''z=a+ib''', como | |||
'''b>0''' y <math>\frac{-1}{2}\leq a\leq \frac{1}{2}</math>, <math>|z|\geq 1</math>, entonces | |||
hay una circunferencia con '''centro''' en '''(0,0)''' y '''radio 1''' | |||
<math>\therefore</math><math>z\in</math><math>(-\infty,-1)</math><math>\bigcup</math> <math>(1,\infty)</math> | |||
[[Usuario:Cesar|Cesar]] ([[Usuario discusión:Cesar|discusión]]) | |||
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'''1.19 Sea <math> \Omega \subseteq \mathbb{C} </math>. Demuestre que: | '''1.19 Sea <math> \Omega \subseteq \mathbb{C} </math>. Demuestre que: |
Revisión del 03:22 3 nov 2012
La topología del plano complejo
1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado
Demostración
Sea Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.
Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que , procederemos por contradicción.
Supongamos que y<0, entonces
=
Esto es una contradicción
y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado
--Cecilia Carrizosa Muñoz (discusión)
1.18 Describa los siguientes subconjuntos de
a)
Solución
Sea , z=a+ib. Si la parte Im(z)>0 entonces b>0. la parte imaginaria de z {Im(z)}es una línea horizontal b>0
b) Solución
Sea , z=a+ib. Si la parte , entonces la parte Real de z {Re(z)}es una línea vertical
c)
Solución
Sea y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1| ||
Es una circunferencia con centro en (1,0) y radio 2
d)
Solución
Sea y z=a+ib, entonces |z-1|=|a+ib-1|>2 ||>2 > 4 Es una circunferencia con centro en (0,1) y radio 2
e)
Solución
Sea y z=a+ib, como b>0 y
f) ,
Solución
Sea y z=a+ib, como b>0 y , , entonces hay una circunferencia con centro en (0,0) y radio 1
1.19 Sea . Demuestre que:
(a) es abierto si y sólo si .
(b) es cerrado si y sólo si .
(a) Si es abierto, entonces para cada z ∈ existe un tal que . Vemos que la unión de todas las bolas es . Además, esta unión es igual al interior de a saber, , puesto que para cualquier subconjunto abierto de se tiene que Error al representar (error de sintaxis): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}.
Luego .
Por otro lado, si , entonces es abierto por que es abierto.
(b) Si es cerrado, entonces , por que es el superconjunto cerrado más pequeño de .
Por otra parte, si entonces es cerrado debido a que es cerrado por definición.
--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)
1.20 Sea . Demuestre que:
(a) .
(b) .
(c) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0} .
(d) Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} .
(a)
- P.D.
Sabemos que
Entonces y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.
De manera que , pues el interior de un conjunto () es el mayor abierto contenido en ese conjunto ()
- P.D.
Sea Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} , entonces Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega por que .
Como Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega , se tiene que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega y también que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} ya que .
Puesto que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0} , es decir, al complemento del interior de .
Tenemos entonces que , de donde .
- Ya que y , podemos decir que .
(b)
Sabemos que .
Ahora, del inciso anterior, , si . Sea ,
entonces: .
Y así .
(c)
Tenemos que Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ] .
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ] (puesto que )
Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0} (por el inciso anterior)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} ) .
(d)
Veamos a la frontera Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega como el conjunto de puntos que NO están en el interior ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con , es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en ). El exterior de es el interior de , o sea el conjunto .
Así, Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}
Sabemos del inciso (a) que y del inciso (b) que .
De tal forma que .
--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)
FUENTES (INFORMACIÓN ADICIONAL):