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Demostración
Demostración


Sea <math>\overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in v\qquad</math><math>\therefore\qquad y_{0}>0</math>
Sea <math>\overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in v\qquad</math><math>\therefore\qquad y_{0}\geq 0</math>
Debemos mostrar que hay una bola abierta <math>B_{1}(\overline{v_{0}},v)</math> contenida en el plano superior.
Debemos mostrar que hay una bola abierta <math>B_{1}(\overline{v_{0}},v)</math> contenida en el plano superior.


Sea <math>\overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in V</math> se tiene entonces que <math>y_{0}>0</math>. Elegimos <math>r=y_{0}</math> consideremos la bola abierta B<math>_{1}({v_{0}},y_{0})</math>, sea <math>\overline{v}=(x,y)\in B_{1}({v_{0}},y_{0})</math>se tiene entonces que <math>||\overline{v}-\overline{v_{0}}||<y_{0}</math>. Es decir <math>|x-x_{0}|+|y-y_{0}|<y_{0}</math> y queremos ver que '''y>0''', procederemos por contradicción.
Sea <math>\overline{v_{0}}=(x_{0},y_{0})\in V</math> se tiene entonces que <math>y_{0}\geq 0</math>. Elegimos <math>r=y_{0}</math> consideremos la bola abierta B<math>_{1}({v_{0}},y_{0})</math>, sea <math>\overline{v}=(x,y)\in B_{1}({v_{0}},y_{0})</math>se tiene entonces que <math>||\overline{v}-\overline{v_{0}}||\geq y_{0}</math>. Es decir <math>|x-x_{0}|+|y-y_{0}|\geq y_{0}</math> y queremos ver que '''<math>y\geq 0</math>''', procederemos por contradicción.
 
Primero supongamos que y=0 se tiene entonces que
<math>|x-x_{0}|+|y-y_{0}|</math>=<math>|x-x_{0}|+|y_{0}|<y_{0}</math>
 
Esto es una contradicción.


Supongamos que y<0, entonces
Supongamos que y<0, entonces
  <math>|x-x_{0}|+|y-y_{0}|</math>=<math>|x-x_{0}|+(-y)+y_{0}<y_{0}</math>
  <math>|x-x_{0}|+|y-y_{0}|</math>=<math>|x-x_{0}|+(-y)+y_{0}\geq y_{0}</math>


Esto es una contradicción
Esto es una contradicción


  <math>\therefore\qquad</math> y>0 y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado
  <math>\therefore\qquad</math> <math>y\geq 0</math> y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado


--[[Usuario:Cecilia Carrizosa Muñoz|Cecilia Carrizosa Muñoz]]


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Revisión del 01:12 3 nov 2012

La topología del plano complejo

1.17.- Demuestre que un semiplano cerrado es un conjunto cerrado

Demostración

Sea Debemos mostrar que hay una bola abierta contenida en el plano superior.

Sea se tiene entonces que . Elegimos consideremos la bola abierta B, sea se tiene entonces que . Es decir y queremos ver que , procederemos por contradicción.

Supongamos que y<0, entonces

=

Esto es una contradicción

  y el semiplano cerrado es un conjunto cerrado

--Cecilia Carrizosa Muñoz


1.19 Sea . Demuestre que:

(a) es abierto si y sólo si .

(b) es cerrado si y sólo si .


(a) Si es abierto, entonces para cada z ∈ existe un tal que . Vemos que la unión de todas las bolas es . Además, esta unión es igual al interior de a saber, , puesto que para cualquier subconjunto abierto de se tiene que Error al representar (error de sintaxis): A \subset \bigcup \left \{ B(x,\epsilon) : x ∈ A \right \}. Luego .

Por otro lado, si , entonces es abierto por que es abierto.


(b) Si es cerrado, entonces , por que es el superconjunto cerrado más pequeño de .

Por otra parte, si entonces es cerrado debido a que es cerrado por definición.

--Belen (discusión) 21:11 30 oct 2012 (UTC)


1.20 Sea . Demuestre que:

(a) .

(b) .

(c) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \Omega^{-} - \Omega ^{0} .

(d) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ∂ \Omega = \Omega^{-} \bigcap ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} .


(a)

  • P.D.

Sabemos que

Entonces y es abierto, puesto que la cerradura es un conjunto cerrado y el complemento de un conjunto cerrado es abierto.

De manera que , pues el interior de un conjunto () es el mayor abierto contenido en ese conjunto ()

  • P.D.

Sea Error al representar (error de sintaxis): x ∈ ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{-} , entonces Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega por que .

Como Error al representar (error de sintaxis): x ∈ \mathbb{C} - \Omega , se tiene que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega y también que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} ya que .

Puesto que Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \Omega ^{0} \Rightarrow x ∈ \mathbb{C} - \Omega ^{0} , es decir, al complemento del interior de .

Tenemos entonces que , de donde .

  • Ya que y , podemos decir que .

(b)

Sabemos que .

Ahora, del inciso anterior, , si . Sea ,

entonces: .

Y así .

(c)

Tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x ∈ ∂ \Omega \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega \cap ( \mathbb{C} - \Omega ) ] .

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ [ \Omega^{-} \cap ( \mathbb{C} - \Omega )^{-} ] (puesto que )

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∈ (\mathbb{C} - \Omega) ^{-}

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ \Omega^{-} y Error al representar (error de sintaxis): x ∉ \mathbb{C} - (\mathbb{C} - \Omega) ^{-} = \Omega ^{0} (por el inciso anterior)

Error al representar (error de sintaxis): \Leftrightarrow x ∈ ( \Omega^{-} - \Omega ^{0} ) .

(d)

Veamos a la frontera Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega como el conjunto de puntos que NO están en el interior ni en el exterior (la unión de todos los abiertos ajenos con , es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en ). El exterior de es el interior de , o sea el conjunto .

Así, Error al representar (error de sintaxis): ∂ \Omega = \mathbb{C} - [ \Omega ^{0} \cup ( \mathbb{C} - \Omega ) ^{0} ] = \mathbb{C} - \Omega ^{0} \cap \mathbb{C}- (\mathbb{C} - \Omega ) ^{0}

Sabemos del inciso (a) que y del inciso (b) que .

De tal forma que .

--Belen (discusión) 02:37 31 oct 2012 (UTC)


FUENTES (INFORMACIÓN ADICIONAL):

LEYES DE MORGAN