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Línea 35: |
Línea 35: |
| Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y | | Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y |
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| <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> | | <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> . Dicha sustitución proviene del hecho que |
| | <math>Sin(\theta )=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i}</math>, |
| | <math>z={{e}^{i\theta }}</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta </math>. |
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| obtenemos la integral | | Continuando con el problema, obtenemos la integral |
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Línea 81: |
Línea 83: |
| al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> | | al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> |
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| y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> | | y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math>. La sustitución proviene del hecho que |
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| obtenemos la integral | | <math>Cos(\theta )=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2}</math> y |
| | <math>z={{e}^{i\theta }}</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta </math>. |
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| | Continuando con el problema, obtenemos la integral |
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| <math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math> | | <math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math> |
Línea 90: |
Línea 95: |
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| obtenemos que los dos polos que son | | obtenemos que los dos polos que son |
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| <math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como | | <math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como |
Línea 111: |
Línea 114: |
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| <math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> | | <math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> |
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| finalmente la integral | | finalmente la integral |
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| <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> | | <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> |
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2.-Calcule
Tomamos la función compleja de la cual tomamos las raíces para determinar los polos.Los cuales estan dados por:
, , ,
por tanto,
para obtener los residuos aplicamos
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos
Aplicando la fórmula de Euler llegamos al resultado de la integral real.
--Oscar Rodriguez 17:40 9 dic 2010 (UTC)
p.199
mfg-wiki 15:01 30 nov 2010 (UTC)
3. Calcule .
Primero haciendo la sustitución y
. Dicha sustitución proviene del hecho que
,
y .
Continuando con el problema, obtenemos la integral
Simplificando queda
o
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de
los cuales son
solo tomamos el polo
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a
hay que recordar que sacamos un
de la integral por lo que al multiplicar ese
por
obtenemos
y finalmente por la definición
la integral es igual a
4. Calcule ,
,
al sustituir
y . La sustitución proviene del hecho que
y
y .
Continuando con el problema, obtenemos la integral
Buscasmos los polos de la función
obtenemos que los dos polos que son
y como
entonces el unico polo que estaría en la región que
nos interesa es
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de
para este polo.
finalmente la integral
es igual a
--Pedro Pablo Ramírez Martínez 14:18 9 dic 2010 (UTC)
Compleja:ej-cap1.1
Compleja:ej-cap1.2
Compleja:ej-cap1.3
Compleja:ej-cap1.4
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Compleja:ej-cap2.2
Compleja:ej-cap2.3
Compleja:ej-cap2.4
Compleja:ej-cap2.5
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Compleja:ej-cap3.2
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Compleja:ej-cap3.4