Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap3.4»
Sin resumen de edición |
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Línea 35: | Línea 35: | ||
Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y | Primero haciendo la sustitución <math>\text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)</math> y | ||
<math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> | <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> . Dicha sustitución proviene del hecho que | ||
<math>Sin(\theta )=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i}</math>, | |||
<math>z={{e}^{i\theta }}</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta </math>. | |||
obtenemos la integral | Continuando con el problema, obtenemos la integral | ||
Línea 81: | Línea 83: | ||
al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> | al sustituir <math>\text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)</math> | ||
y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math> | y <math>d\theta =\frac{dz}{iz}</math>. La sustitución proviene del hecho que | ||
obtenemos la integral | <math>Cos(\theta )=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2}</math> y | ||
<math>z={{e}^{i\theta }}</math> y <math>dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta </math>. | |||
Continuando con el problema, obtenemos la integral | |||
<math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math> | <math>\int _c\frac{1}{i(1-z b)(z-b)}dz</math> | ||
Línea 90: | Línea 95: | ||
obtenemos que los dos polos que son | obtenemos que los dos polos que son | ||
<math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como | <math>z=b</math> y <math>z=\frac{1}{b}</math> como | ||
Línea 111: | Línea 114: | ||
<math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> | <math>{\displaystyle lim_{z\longrightarrow(\frac{1}{b})}}{\displaystyle \dfrac{z-(\frac{1}{b} )}{i(1-z b)(z-b)}}=(-\frac{i}{-1+b^2})</math> | ||
finalmente la integral | finalmente la integral | ||
<math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> | <math>\int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta</math> | ||
Revisión del 18:55 13 dic 2010
2.-Calcule Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx
Tomamos la función compleja Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z)=\frac{z+1}{z^4+1} de la cual tomamos las raíces para determinar los polos.Los cuales estan dados por:
, , , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_4=e^{\frac{-1}{4}i\pi} \,
por tanto,
para obtener los residuos aplicamos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Res(f(z),e^{\frac{1}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{1}{4}i\pi}(z-e^{\frac{1}{4}i\pi})\frac{z+1}{(z^4+1)}
Aplicando la regla de L´ Hopital obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Res(f(z),e^{\frac{3}{4}i\pi})= \lim_{z \to e^\frac{3}{4}i\pi}\frac{(z-e^{\frac{3}{4}i\pi})+(z+1)}{4z^3}=\frac{1}{4}(e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})
Aplicando la fórmula de Euler llegamos al resultado de la integral real.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int}_{c}f(z)=\int_{-\infty}^\infty\frac{x+1}{x^4+1}\,dx=2\pi i\frac{1}{4} (e^{\frac{-1}{2}i\pi}+e^{\frac{-3}{4}i\pi}+e^{\frac{-3}{2}i\pi}+e^{\frac{-9}{4}i\pi})=\frac{\pi \sqrt{2}}{2}
--Oscar Rodriguez 17:40 9 dic 2010 (UTC)
p.199
mfg-wiki 15:01 30 nov 2010 (UTC)
3. Calcule Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int_0^{2\pi } \frac{1}{2-\text{Sin}(\theta )} \, d\theta .
Primero haciendo la sustitución Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \text{Sin}(\theta )=\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right) y
. Dicha sustitución proviene del hecho que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Sin(\theta )=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2i} , y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta .
Continuando con el problema, obtenemos la integral
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int _c\frac{1}{2+\left(\frac{1}{2i z}\left(z-\frac{1}{z}\right) \right)}\frac{dz}{i z}
Simplificando queda
o Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int _c\frac{-2}{ z^2-4i z-1}dz
Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {{z}^{2}}-4iz-1
los cuales son
solo tomamos el polo
porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.
Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a
hay que recordar que sacamos un Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): -2 de la integral por lo que al multiplicar ese por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): -\frac{i}{2 \sqrt{3}}
obtenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{2i}{2 \sqrt{3}}
y finalmente por la definición
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{1}{2\pi i}\int _cf(z)dz=\left\{\text{Res}\left(f(z),z_1\right)+\text{...}+\text{Res}\left(f(z),z_k\right)\right\}
la integral es igual a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{2\pi}{\sqrt{3}}
4. Calcule Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int_0^{2\pi}\frac{1}{\left(1-2b\text{Cos}[\theta]+b^2\right)}\,d\theta , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): b>1
, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): b>1
al sustituir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \text{Cos}[\theta]=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)
y . La sustitución proviene del hecho que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Cos(\theta )=\frac{{{e}^{i\theta }}-{{e}^{-i\theta }}}{2} y y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): dz=i{{e}^{i\theta }}d\theta .
Continuando con el problema, obtenemos la integral
Buscasmos los polos de la función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{1}{i(1-zb)(z-b)}
obtenemos que los dos polos que son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z=b y como
entonces el unico polo que estaría en la región que
nos interesa es
por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de
para este polo.
finalmente la integral
es igual a
--Pedro Pablo Ramírez Martínez 14:18 9 dic 2010 (UTC)
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