Compleja:ej-cap3.4

p.199

mfg-wiki 15:01 30 nov 2010 (UTC)

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3. Calcule $\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2-{\text{Sin}}(\theta )}}\,d\theta$ .

Primero haciendo la sustitución ${\text{Sin}}(\theta )={\frac {1}{2iz}}\left(z-{\frac {1}{z}}\right)$ y $\mathrm {d} \theta$ es igual a ${\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {i} z}}$ obtenemos la integral

$\int _{c}{\frac {1}{2+\left({\frac {1}{2iz}}\left(z-{\frac {1}{z}}\right)\right)}}{\frac {dz}{iz}}$

Simplificando queda $\int _{c}{\frac {2}{4iz-z^{2}+1}}dz{\text{ }}{\frac {(-1)}{(-1)}}$ o

$\int _{c}{\frac {-2}{z^{2}-4iz-1}}dz$

Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de $z^{2}-4iz-1$

los cuales son $z={\overset {+}{-}}{\sqrt {3}}i+2i$

solo tomamos el polo $-Sqrt[3]i+2i$ porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.

Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a

${\displaystyle lim_{z\longrightarrow (-{\sqrt {3}}i+2i)}}{\displaystyle {\dfrac {z-(-{\sqrt {3}}i+2i)}{z^{2}-4iz-1}}}=(-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}})$

hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por $-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}$

obtenemos $(2I)/(2Sqrt[3])$

y finalmente por la siguiente definición

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c}f(z)dz=\left\{{\text{Res}}\left(f(z),z_{1}\right)+{\text{...}}+{\text{Res}}\left(f(z),z_{k}\right)\right\}$

la integral es igual a ${\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}$

4. Calcule $\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\left(1-2b{\text{Cos}}[\theta ]+b^{2}\right)}}\,d\theta$ , $b>1$

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\left(1-2b{\text{Cos}}[\theta ]+b^{2}\right)}}\,d\theta$ , < math > b > 1 < /math >

al sustituir ${\text{Cos}}[\theta ]={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)$

y Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \text{d$\theta $}=\frac{\text{dz}}{iz}<math> <math>\int _C\frac{1}{\left(1-2b\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)+b^2\right)}\frac{dz}{iz}}

Buscasmos los polos de la función ${\frac {1}{i(1-zb)(z-b)}}$

obtenemos que dos polos que son

$z=b$ y $z={\frac {1}{b}}$ como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): b>1<math> entonces el unico polo que estaría en la región que nos interesa es <math>z=1/b por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de $f(z)$ para este polo.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\displaystyle lim_{z\longrightarrow\frac{1}{b}}{\displaystyle \dfrac{z-\frac{1}{b}}{\left({i(1-bz)(z-b)}}=-\frac{i}{-1+b^2}}

finalmete la integral

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\left(1-2b{\text{Cos}}[\theta ]+b^{2}\right)}}\,d\theta$

es igual a Error al representar (error de sintaxis): 2\pi i\text{}\left(-\frac{i}{-1+b^2}\right)<math> o <math>\frac{2\pi}{-1+b^2} --Pedro Pablo Ramírez Martínez 04:27 9 dic 2010 (UTC)

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