Compleja:ej-cap3.4

p.199

mfg-wiki 15:01 30 nov 2010 (UTC)

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3. Calcule $\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2-{\text{Sin}}(\theta )}}\,d\theta$ .

Primero haciendo la sustitución ${\text{Sin}}(\theta )={\frac {1}{2iz}}\left(z-{\frac {1}{z}}\right)$ y $\mathrm {d} \theta$ es igual a ${\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {i} z}}$ obtenemos la integral

$\int _{c}{\frac {1}{2+\left({\frac {1}{2iz}}\left(z-{\frac {1}{z}}\right)\right)}}{\frac {dz}{iz}}$

Simplificando queda $\int _{c}{\frac {2}{4iz-z^{2}+1}}dz{\text{ }}{\frac {(-1)}{(-1)}}$ o

$\int _{c}{\frac {-2}{z^{2}-4iz-1}}dz$

Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de $z^{2}-4iz-1$

los cuales son $z={\overset {+}{-}}{\sqrt {3}}i+2i$

solo tomamos el polo $-Sqrt[3]i+2i$ porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.

Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a

${\displaystyle lim_{z\longrightarrow (-{\sqrt {3}}i+2i)}}{\displaystyle {\dfrac {z-(-{\sqrt {3}}i+2i)}{z^{2}-4iz-1}}}=(-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}})$

hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por $-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}$

obtenemos $(2I)/(2Sqrt[3])$

y finalmente por la siguiente definición

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c}f(z)dz=\left\{{\text{Res}}\left(f(z),z_{1}\right)+{\text{...}}+{\text{Res}}\left(f(z),z_{k}\right)\right\}$

la integral es igual a ${\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}$

4. Calcule $\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{\left(1-2b{\text{Cos}}[\theta ]+b^{2}\right)}}\,d\theta$ , < math > b > 1 < /math >

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