Compleja:ej-cap3.4

p.199

mfg-wiki 15:01 30 nov 2010 (UTC)

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3. Calcule $\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2-{\text{Sin}}(\theta )}}\,d\theta$ .

Primero haciendo la sustitución ${\text{Sin}}(\theta )={\frac {1}{2iz}}\left(z-{\frac {1}{z}}\right)$ y $\mathrm {d} \theta$ es igual a ${\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {i} z}}$ obtenemos la integral

$\int _{c}{\frac {1}{2+\left({\frac {1}{2iz}}\left(z-{\frac {1}{z}}\right)\right)}}{\frac {dz}{iz}}$

Simplificando queda $\int _{c}{\frac {2}{4iz-z^{2}+1}}dz{\text{ }}{\frac {(-1)}{(-1)}}$ o

$\int _{c}{\frac {-2}{z^{2}-4iz-1}}dz$

Luego buscamos los polos del denomidador osea los polos de $z^{2}-4iz-1$

los cuales son $z={\overset {+}{-}}{\sqrt {3}}i+2i$

solo tomamos el polo $-Sqrt[3]i+2i$ porque es el único que esta dentro del circulo de radio 1, el cual es la región sobre la que estamos integrando.

Ahora obtenemos el Residuo de la funcion que es igual a

${\displaystyle lim_{z\longrightarrow (-{\sqrt {3}}i+2i)}}{\displaystyle {\dfrac {z-(-{\sqrt {3}}i+2i)}{z^{2}-4iz-1}}}=(-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}})$

hay que recordar que sacamos un -2 de la integral por loque al multiplicar ese -2 por $-{\frac {i}{2{\sqrt {3}}}}$

obtenemos $(2I)/(2Sqrt[3])$

y finalmente por la siguiente definición

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c}f(z)dz=\left\{{\text{Res}}\left(f(z),z_{1}\right)+{\text{...}}+{\text{Res}}\left(f(z),z_{k}\right)\right\}$

la integral es igual a ${\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}$

4.

< math > \int_ 0^{2\pi}\frac {1} {\left (1 - 2 b\text {Cos}[\theta] +

      b^2 \r ight)}\, 

d\theta < /math > , < math > b > 1 < /math >

 al sustituir  < 
 math > \text {Cos}[\t
    heta] = \frac {1} {2}\left (z + \frac {1} {z} \r ight) < /math > 
  y  < math > \text {d$\theta $} = \frac {\text {dz}} {i z} < math >
  
  < math > \int _C\frac {1} {\left (1 - 
        2 b\frac {1} {2}\left (z + \frac {1} {z} \r ight) + 
        b^2 \r ight)}\frac {dz} {i z} < /math >
  
  
  Buscasmos los polos de la función   < 
  math > \frac {1} {i (1 - z b) (z - b)} < /math >      
  obtenemos que dos polos  que son 

< math > z =

b < /math >    y    < math > z = 
 1/b < /math >    como   < math > b > 1 < /math > 
  entonces el unico polo que estaria en la región que

nos interesa es < math > z =

1/b < /math >  por lo tanto solo necesitamos calcular el residuo de <
   math > f (z) < /math > para este polo.
  
  
  < math > {\displaystyle lim_ {z\longrightarrow (frac {2\pi} {b})}} \

{\displaystyle\dfrac {z - (frac {2\pi} {b})} {i (1 - b z) (z -

         b)}} = (-\frac {i} {-1 + b^2}) < /math >

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