Compleja:ej-cap3.3

De luz-wiki

p.183


6.- Describa el tipo de singularidad en el origen de \({\displaystyle \dfrac{z^{4}}{\left(\cos z-1\right)^{2}}}\)

SOLUCION

Tiene una singularidad en \({\displaystyle z=0}\) , y un polo de orden 2.

Pero como el \({\displaystyle lim_{z\longrightarrow0}}{\displaystyle \dfrac{z^{4}}{\left(\cos z-1\right)^{2}}}=0\) se trata de una singularidad evitable.--Emmanuel Lopez Ortiz 19:05 8 dic 2010 (UTC)

mfg-wiki 15:01 30 nov 2010 (UTC)


4.- Encuentre la expansión de Laurent de la función \(\frac{6}{z\left(z-1\right)\left(z-3\right)}\) en los anillos \(0<|z|<1\) y \(1<|z|<3\).

Resolviendo en fracciones parciales la función \(\frac{6}{z\left(z-1\right)\left(z-3\right)}=\frac{a}{z}+\frac{b}{z-1}+\frac{c}{z-3}\)

\(6=a\left(z-1\right)\left(z-3\right)+b\left(z\right)\left(z-3\right)+c\left(z\right)\left(z-1\right)\)

Evaluamos para \(z=0\)

y encuentro que \(6=3a\,,a=2 \)

con \(z=1 \)

\(6=-2b,\, b=-3\)

con \(z=3 \)

\(6=6c,\, c=1 \)

Ahora escribimos nuestra función como\[\frac{6}{z\left(z-1\right)\left(z-3\right)}=\frac{2}{z}-\frac{3}{z-1}+\frac{1}{z-3}\]

La función tiene tres singularidades que son en, \(z=0,z=1,z=3\)

Para \(|z|>0\)

\(\frac{2}{z}=2\left(\frac{1}{z}\right)=2\left(1-\frac{1}{z}+\frac{1}{z^{2}}-\frac{1}{z^{3}}+.....\right)\)

Para \(|z|<1\)

\(\frac{3}{z-1}=\frac{3}{1-\frac{1}{z}}=3\left(-1+\frac{1}{z}-\frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{z^{3}}-........\right)\)

Para \(|z|>3\)

\(\frac{1}{z-3}=\frac{1}{1-\frac{3}{z}}=\frac{1}{z}\left(-1+\frac{3}{z}-\frac{9}{z^{2}}+\frac{27}{z^{3}}-...\right)\)

--Federico Espinoza Sosa 07:27 9 dic 2010 (UTC)


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