Compleja:ej-cap2.5

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2. Encuentre integrando parciales la función armónica conjugada de la función $u(x+iy)=\cos x\cosh y.$

$u(x,y)=\cos x\cosh y$

basta resolver ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$

${\frac {\partial u}{\partial x}}=-\sin x\cosh y$

$v(x,y)=\int -\sin x\cosh ydy=-\sin x\sinh y+\phi (x)$

Para hallar $\phi (x)$ usamos la otra ecuación ${\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}}$

Como debe cumplirse ${\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}}$ tenemos

$-\cos x\sinh y+\phi '(x)=-\cos x\sin y$

Asi vemos que $\phi (x)=c$ donde $c\epsilon \mathbb {R}$ es una constante de integración.

Por lo tanto $v(x,y)=-\sin x\sinh y+c$ es la armónica conjugada de u.

--Carlos López Cobá 07:55 3 dic 2010 (UTC)

3.-Encuentre, integrando parciales,la función armónica conjugada de la función $u\left(x+iy\right)=14xy+2y$

SOLUCIÓN

Derivamos y aplicamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann.Si v es la conjugada armonica de u, se tiene

${\dfrac {\partial v}{\partial x}}\left(z\right)=14x+2$

${\dfrac {\partial v}{\partial y}}\left(z\right)=14y$

Integramos la primera ecuación con respecto a x se obtiene

$v\left(z\right)=7x^{2}+2x+g\left(y\right)$

Integramos la segunda ecuación ha hora con respecto a y se obtiene

$v\left(z\right)=7y^{2}+g\left(x\right)$

Al igualar las dos expresiones se tienen

$7x^{2}+2x+g\left(y\right)=7y^{2}+g\left(x\right)$

Donde $g\left(y\right)=g\left(x\right)$, son iguales por ser v la conjugada de u .Por la tanto

$u\left(z\right)=7x^{2}+7y^{2}+2x+ctc$ esta es la función armónica--Diana Rodriguez Almaraz. 18:55 1 dic 2010 (UTC)

3. Encuentre integrando parciales la función armónica conjugada de la función $u(x+iy)=14xy+2y.$

Dada una función armónica u, para encontrar una función v que sea armónica conjugada de u basta con resolver el sistema planteado por las ecuaciones de Cauchy-Riemann

$u(x,y)=14xy+2y$

basta con resolver ${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$

${\frac {\partial u}{\partial x}}=14y$

$v(x,y)=\int 14ydy=7y^{2}+\psi (x)$

Para hallar $\psi (x)$ usamos la otra ecuación ${\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}}$

Como debe cumplirse ${\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}}$ tenemos

$\psi '(x)=-14x+2$ integrando

$\int \psi '(x)dx=-\int (14x+2)dx=-(7x^{2}+2x)$

Asi vemos que $\psi (x)=-(7x^{2}+2x)$

Por lo tanto $v(x,y)=7y^{2}-(7x^{2}+2x)$ es la armónica conjugada de u.

--Carlos López Cobá 08:06 3 dic 2010 (UTC)

mfg-wiki 15:01 30 nov 2010 (UTC)

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