Compleja:ej-cap1.4

EJERCICIOS 1.4.1

1.-Demuestre la identidad $\left(f.g\right)'\left(z\right)=f'\left(z\right)g\left(z\right)+f\left(z\right)g'\left(z\right)$ .

sean $f$ y $g$ , dos funciones definidas y derivables en un mismo punto $z$ .

${\frac {\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}}={\frac {f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}}$

si se suma y se resta en el numerador $f\left(z\right).g\left(z+h\right)$ , la fraccion anterior no varia.

$={\frac {f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right).g\left(z+h\right)+f\left(z\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}}$

sacando $g\left(z+h\right)$ factor comun en los dos primeros sumandos, y $f\left(z\right)$ , en los otros dos.

$={\frac {g\left(z+h\right)\left[f\left(z+h\right)-f\left(z\right)\right]+f\left(z\right)\left[g\left(z+h\right)-g\left(z\right)\right]}{h}}$

$=g\left(z+h\right).{\frac {f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}}+f\left(z\right).{\frac {g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}}$ .

si ahora se toman limites cuando $h$ tiende a cero.

$\lim _{h\rightarrow 0}g\left(z+h\right)=g\left(z\right)$ , pues $g$ es continua en $z$ ya que es derivable en $z$ .

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}}=f'\left(z\right)$ , por definicion de derivada.

$\lim _{h\rightarrow 0}f\left(z\right)=f\left(z\right)$ , al no depender $f\left(z\right)$ de $h$ .

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}}=g'\left(z\right)$ , por definicion.

por tanto, $\left(f.g\right)'\left(z\right)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}}$

$\left(f.g\right)'\left(z\right)=f'\left(z\right)g\left(z\right)+f\left(z\right)g'\left(z\right)$

--Josua Da Vinci 20:36 17 nov 2009 (UTC)

2.- Encuentre una región donde ${\frac {3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}}$ sea holomorfa, calcule la derivada.

Solución

Utilizando la regla de derivación para cocientes

f\left(z\right)={\frac {u}{g}}

f'\left(z\right)={\frac {u'g-g'u}{g^{2}}}

se tiene lo siguiente

f\left(z\right)={\frac {3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}}

f'\left(z\right)={\frac {\left(12z^{3}-4z\right)\left(z^{3}-27i\right)-\left(3z^{2}\right)\left(3z^{4}-2z^{2}+i\right)}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}}}

f'\left(z\right)={\frac {3z^{6}+5z^{4}-324z^{3}-3iz+96z}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}}}

$f\left(z\right)$ es holomorfa en $\mathbb {C-\left\{\pm \right\}}$

--Dali 01:56 15 nov 2009 (UTC)

3 Sea f la funcion de $\mathbb {R} ^{2}$ en $\mathbb {R} ^{2}$ en definida por ${\begin{array}{lcr}f(x,y)&=(x^{2}+y^{2},0)\end{array}}$ (en notación compleja $z\Rightarrow \ |z|^{2}$ ),calcule su matriz jacobiana.