Compleja:ej-cap1.4

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EJERCICIOS 1.4.1

1.-Demuestre la identidad \(\left(f.g\right)'\left(z\right)=f'\left(z\right)g\left(z\right)+f\left(z\right)g'\left(z\right)\).



sean \(f\) y \(g\), dos funciones definidas y derivables en un mismo punto \(z\).



\(\frac{\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}=\frac{f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}\)



si se suma y se resta en el numerador \(f\left(z\right).g\left(z+h\right)\), la fraccion anterior no varia.




\(=\frac{f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right).g\left(z+h\right)+f\left(z\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}\)



sacando \(g\left(z+h\right)\) factor comun en los dos primeros sumandos, y \(f\left(z\right)\), en los otros dos.




\(=\frac{g\left(z+h\right)\left[f\left(z+h\right)-f\left(z\right)\right]+f\left(z\right)\left[g\left(z+h\right)-g\left(z\right)\right]}{h}\)


\(=g\left(z+h\right).\frac{f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}+f\left(z\right).\frac{g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}\).



si ahora se toman limites cuando \(h\) tiende a cero.


\(\lim_{h\rightarrow 0}g\left(z+h\right)=g\left(z\right) \), pues \(g\) es continua en \(z\) ya que es derivable en \(z\).


\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}=f'\left(z\right)\), por definicion de derivada.


\(\lim_{h\rightarrow 0}f\left(z\right)=f\left(z\right)\), al no depender \(f\left(z\right)\) de \(h\).



\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}=g'\left(z\right)\), por definicion.


por tanto, \(\left(f.g\right)'\left(z\right)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}\)


\(\left(f.g\right)'\left(z\right)=f'\left(z\right)g\left(z\right)+f\left(z\right)g'\left(z\right)\)


--Josua Da Vinci 20:36 17 nov 2009 (UTC)



2.- Encuentre una región donde \( \frac{3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}\) sea holomorfa, calcule la derivada.

Solución

Utilizando la regla de derivación para cocientes

\(f\left(z\right)=\frac{u}{g} \)


\(f'\left(z\right)=\frac{u'g-g'u}{g^{2}} \)


se tiene lo siguiente

\(f\left(z\right)=\frac{3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i} \)


\(f'\left(z\right)=\frac{\left(12z^{3}-4z\right)\left(z^{3}-27i\right)-\left(3z^{2}\right)\left(3z^{4}-2z^{2}+i\right)}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}} \)


\(f'\left(z\right)=\frac{3z^{6}+5z^{4}-324z^{3}-3iz+96z}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}} \)


\(f\left(z\right)\) es holomorfa en \(\mathbb{C-\left\{ \pm\right\} } \)


--Dali 01:56 15 nov 2009 (UTC)




3 Sea f la funcion de\(\mathbb R^2 \) en \(\mathbb R^2 \) en definida por \(\begin{array}{lcr} f(x,y) & = (x^2+y^2,0)\end{array}\)(en notación compleja \(z\Rightarrow\ |z|^2\)),calcule su matriz jacobiana.


por definicion la matriz jacodiana es

\( \begin{vmatrix} \frac{f_1}{dx} & \frac{f_1}{dy} \\ \frac{f_2}{dx} & \frac{f_2}{dy} \end{vmatrix}\)

Para números que pertenecen al campo de los reales.

partiendo de \(\begin{array}{lcr} f(x,y) & = (x^2+y^2,0)\end{array}\)

donde \(f_1=x^2+y^2\) y \(f_2=0\)

Usando las definiciones obtenemos su matriz jacobiana, obteniendo sus parciales.

\(\frac{f_1}{dx}= 2x\), \(\frac{f_1}{dy}= 2y\), \(\frac{f_2}{dx}= 0\), \(\frac{f_2}{dy}= 0\),

Construyendo su matriz jacobiana tenemos finalmente.

\( \begin{vmatrix} 2x & 2y \\ 0 & 0 \end{vmatrix}\)

--Karla 22:08 15 nov 2009 (UTC)Karla


4. Sea \(f(z) = \)


EJERCICIOS 1.4.2

1. Verifique directamente que se cumplen las ecucaiones de Cauchy-Riemann para a funcion \(z\longmapsto\ 3z^3+2z\)

Partiendo de las definiciones de Cauchy-Riemann por definicion\[\frac{dy}{dx}\\]

\(\partial x \\)

EJERCICIOS 1.4.3

1. Interprete geometricamente la no conformalidad de la funcion \( \quad z \rightarrow \ z^4 \quad\) en el origen.




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