Compleja:ej-cap1.4

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EJERCICIOS 1.4.1

2.- Encuentre una región donde \( \frac{3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}\) sea holomorfa, calcule la derivada.

Solución

Utilizando la regla de derivación para cocientes

\(f\left(z\right)=\frac{u}{g} \)


\(f'\left(z\right)=\frac{u'g-g'u}{g^{2}} \)


se tiene lo siguiente

\(f\left(z\right)=\frac{3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i} \)


\(f'\left(z\right)=\frac{\left(12z^{3}-4z\right)\left(z^{3}-27i\right)-\left(3z^{2}\right)\left(3z^{4}-2z^{2}+i\right)}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}} \)


\(f'\left(z\right)=\frac{3z^{6}+5z^{4}-324z^{3}-3iz+96z}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}} \)


\(f\left(z\right)\) es holomorfa en \(\mathbb{C-\left\{ \pm\right\} } \)


--Dali 01:56 15 nov 2009 (UTC)




3 Sea f la funcion de\(\mathbb R^2 \) en \(\mathbb R^2 \) en definida por \(\begin{array}{lcr} f(x,y) & = (x^2+y^2,0)\end{array}\)(en notación compleja \(z\Rightarrow\ |z|^2\),calcule su matriz jacobiana.


por definicion la matriz jacodiana es

\( \begin{vmatrix} \frac{f_1}{dx} & \frac{f_1}{dy} \\ \frac{f_2}{dx} & \frac{f_2}{dy} \end{vmatrix}\)

partiendo de \(\begin{array}{lcr} f(x,y) & = (x^2+y^2,0)\end{array}\)

donde \(f_1=x^2+y^2\) y \(f_2=0\)

Usando las definiciones obtenemos su matriz jacobiana, obteniendo sus parciales.

\(\frac{f_1}{dx}= 2x\), \(\frac{f_1}{dy}= 2y\), \(\frac{f_2}{dx}= 0\), \(\frac{f_2}{dy}= 0\),


--Karla 22:08 15 nov 2009 (UTC)Karla