Compleja:ej-cap1.4

EJERCICIOS 1.4.1

1.-Demuestre la identidad $\left(f.g\right)'\left(z\right)=f'\left(z\right)g\left(z\right)+f\left(z\right)g'\left(z\right)$ .

sean $f$ y $g$ , dos funciones definidas y derivables en un mismo punto $z$ .

${\frac {\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}}={\frac {f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}}$

si se suma y se resta en el numerador $f\left(z\right).g\left(z+h\right)$ , la fraccion anterior no varia.

$={\frac {f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right).g\left(z+h\right)+f\left(z\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}}$

sacando $g\left(z+h\right)$ factor comun en los dos primeros sumandos, y $f\left(z\right)$ , en los otros dos.

$={\frac {g\left(z+h\right)\left[f\left(z+h\right)-f\left(z\right)\right]+f\left(z\right)\left[g\left(z+h\right)-g\left(z\right)\right]}{h}}$

$=g\left(z+h\right).{\frac {f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}}+f\left(z\right).{\frac {g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}}$ .

si ahora se toman limites cuando $h$ tiende a cero.

$\lim _{h\rightarrow 0}g\left(z+h\right)=g\left(z\right)$ , pues $g$ es continua en $z$ ya que es derivable en $z$ .

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}}=f'\left(z\right)$ , por definicion de derivada.

$\lim _{h\rightarrow 0}f\left(z\right)=f\left(z\right)$ , al no depender $f\left(z\right)$ de $h$ .

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}}=g'\left(z\right)$ , por definicion.

por tanto, $\left(f.g\right)'\left(z\right)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}}$

$\left(f.g\right)'\left(z\right)=f'\left(z\right)g\left(z\right)+f\left(z\right)g'\left(z\right)$

--Josua Da Vinci 20:36 17 nov 2009 (UTC)

2.- Encuentre una región donde ${\frac {3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}}$ sea holomorfa, calcule la derivada.

Solución

Utilizando la regla de derivación para cocientes

f\left(z\right)={\frac {u}{g}}

f'\left(z\right)={\frac {u'g-g'u}{g^{2}}}

se tiene lo siguiente

f\left(z\right)={\frac {3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}}

f'\left(z\right)={\frac {\left(12z^{3}-4z\right)\left(z^{3}-27i\right)-\left(3z^{2}\right)\left(3z^{4}-2z^{2}+i\right)}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}}}

f'\left(z\right)={\frac {3z^{6}+5z^{4}-324z^{3}-3iz+96z}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}}}

$f\left(z\right)$ es holomorfa en $\mathbb {C-\left\{\pm \right\}}$

--Dali 01:56 15 nov 2009 (UTC)

3 Sea f la funcion de $\mathbb {R} ^{2}$ en $\mathbb {R} ^{2}$ en definida por ${\begin{array}{lcr}f(x,y)&=(x^{2}+y^{2},0)\end{array}}$ (en notación compleja $z\Rightarrow \ |z|^{2}$ ),calcule su matriz jacobiana.

por definicion la matriz jacodiana es

${\begin{vmatrix}{\frac {f_{1}}{dx}}&{\frac {f_{1}}{dy}}\\{\frac {f_{2}}{dx}}&{\frac {f_{2}}{dy}}\end{vmatrix}}$

Para números que pertenecen al campo de los reales.

partiendo de ${\begin{array}{lcr}f(x,y)&=(x^{2}+y^{2},0)\end{array}}$

donde $f_{1}=x^{2}+y^{2}$ y $f_{2}=0$

Usando las definiciones obtenemos su matriz jacobiana, obteniendo sus parciales.

${\frac {f_{1}}{dx}}=2x$ , ${\frac {f_{1}}{dy}}=2y$ , ${\frac {f_{2}}{dx}}=0$ , ${\frac {f_{2}}{dy}}=0$ ,

Construyendo su matriz jacobiana tenemos finalmente.

${\begin{vmatrix}2x&2y\\0&0\end{vmatrix}}$

--Karla 22:08 15 nov 2009 (UTC)Karla

4. Sea $f(z)=$

EJERCICIOS 1.4.2

1.Verifique directamente que se cumplen las ecucaiones de Cauchy-Riemann para la funcion $z\longmapsto \ 3z^{3}+2z$ .

Sean $A$ abierto en $\mathbb {C}$ , y $f:A\longmapsto \mathbb {C}$ ,una funcion holomorfa en $z_{0}\in A$ , entonces si $f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right),$ se tiene.

(Ecuaciones de Cauchy-Riemann).

${\frac {\partial u}{\partial x\,}}(z_{0})={\frac {\partial v}{\partial y\,}}(z_{0})$

${\frac {\partial u}{\partial y\,}}(z_{0})=-{\frac {\partial v}{\partial x\,}}(z_{0})$

$\delta \left(z\right)=3z^{3}+2z$ y $Z=X+iY$ .

$\delta \left(z\right)=3x^{3}-9xy^{2}+2x+i\left(9x^{2}y-3y^{3}+2y\right)$

donde:

$u\left(z_{0}\right)=3x^{3}-9xy^{2}+2x$ y $v\left(z_{0}\right)=9x^{2}y-3y^{3}+2y$

${\frac {\partial u}{\partial x\,}}(z_{0})=9x^{2}-9y^{2}+2$

${\frac {\partial v}{\partial y\,}}(z_{0})=9x^{2}-9y^{2}+2$

Y

${\frac {\partial u}{\partial y\,}}(z_{0})=-18xy$

$-{\frac {\partial v}{\partial x\,}}(z_{0})=-\left(18xy\right)$

por tanto se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

--Josua Da Vinci 23:40 3 dic 2009 (UTC)

4.- Demuestre que la función $z\rightarrow \sin {\overline {z}}$ no es holomorfa en ningún punto del plano.

Primero desarrollando $\sin {\overline {z}}$ como $\sin \left(x-iy\right)$ tenemos lo siguiente:

$f\left(z\right)=\sin {\overline {z}}=\sin x\cosh y-i\sinh y\cos x=u+iv$

$\therefore u=\sin x\cosh y;v=-\sinh y\cos x$

Ahora para mostrar que nuestra función no es holomorfa basta con probar que no se cumplen las Ecuaciones de Cauchy-Riemann

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$ y ${\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

Calculando estas parciales tenemos que:

${\frac {\partial u}{\partial x}}=\cos x\cosh y$

${\frac {\partial v}{\partial y}}=-\cos x\cosh y$

Donde es facil ver que

${\frac {\partial u}{\partial x}}=\cos x\cosh y\neq -\cos x\cosh y={\frac {\partial v}{\partial y}}$

Para la otra igualdad calculamos las parciales

${\frac {\partial u}{\partial y}}=\sin x\sinh y$

${\frac {\partial v}{\partial x}}=\sin x\sinh y$

Y hacemos la comparación de la misma forma

${\frac {\partial u}{\partial y}}=\sin x\sinh y\neq -\sin x\sinh y=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

Como se puede ver son distintas.

$\therefore$ La función $\sin {\overline {z}}$ no es holomorfa en ningun punto del plano.

--Oscar Adrian 06:23 4 dic 2009 (UTC)

6.Encuentre un dominio de analiticidad para la funciòn $z\rightarrow \log(e^{z}+1)$ y encuentre la derivada, donde log denota la rama $(0,2\pi )$ de logaritmo

Para encontrar los punto de analiticidad, localizamos aquellos ddonde la funciòn no es analitica; es dexcir donde la funcion es real positiva, por tanto los puntos localizados se excluiràn del dominio.

Condiciòn:

$e^{z}+1\ >0$