Compleja:ej-cap1.4

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EJERCICIOS 1.4.1

1.-Demuestre la identidad .



sean y , dos funciones definidas y derivables en un mismo punto .





si se suma y se resta en el numerador , la fraccion anterior no varia.






sacando factor comun en los dos primeros sumandos, y , en los otros dos.





.



si ahora se toman limites cuando tiende a cero.


, pues es continua en ya que es derivable en .


, por definicion de derivada.


, al no depender de .



, por definicion.


por tanto,



--Josua Da Vinci 20:36 17 nov 2009 (UTC)



2.- Encuentre una región donde sea holomorfa, calcule la derivada.

Solución

Utilizando la regla de derivación para cocientes



se tiene lo siguiente




es holomorfa en


--Dali 01:56 15 nov 2009 (UTC)




3 Sea f la funcion de en en definida por (en notación compleja ),calcule su matriz jacobiana.


por definicion la matriz jacodiana es

Para números que pertenecen al campo de los reales.

partiendo de

donde y

Usando las definiciones obtenemos su matriz jacobiana, obteniendo sus parciales.

, , , ,

Construyendo su matriz jacobiana tenemos finalmente.

--Karla 22:08 15 nov 2009 (UTC)Karla


4. Sea


EJERCICIOS 1.4.2

1.Verifique directamente que se cumplen las ecucaiones de Cauchy-Riemann para la funcion .



Sean abierto en , y ,una funcion holomorfa en , entonces si se tiene.



(Ecuaciones de Cauchy-Riemann).




y .



donde:

y




Y




por tanto se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.


--Josua Da Vinci 23:40 3 dic 2009 (UTC)




4.- Demuestre que la función no es holomorfa en ningún punto del plano.

Primero desarrollando como tenemos lo siguiente:

Ahora para mostrar que nuestra función no es holomorfa basta con probar que no se cumplen las Ecuaciones de Cauchy-Riemann

y

Calculando estas parciales tenemos que:

Donde es facil ver que

Para la otra igualdad calculamos las parciales

Y hacemos la comparación de la misma forma

Como se puede ver son distintas.

La función no es holomorfa en ningun punto del plano.

--Oscar Adrian 06:23 4 dic 2009 (UTC)


6.Encuentre un dominio de analiticidad para la funciòn y encuentre la derivada, donde log denota la rama de logaritmo


Para encontrar los punto de analiticidad, localizamos aquellos ddonde la funciòn no es analitica; es dexcir donde la funcion es real positiva, por tanto los puntos localizados se excluiràn del dominio.

Condiciòn:

Donde

se cumple excepto en

CASO 1 k=0


=1 obteniendo el logaritmo y por lo tanto la condicion no se cumple


CASO 2 k= Nùmero impar, por ejemplo k=1

=-1 , por lo tanto no se cumple


CASO 3 k=Nùmero par, por ejmplo k=2

=1 , en k=2 no se cumple


Entonces en estos puntos la funciòn es no analitica; por lo tanto ent odos los demàs puntos la funciòn serà analìtica. En estos puntos de no analiticidad no tiene sentido hablar de derivada.


El dominio de la funcion son todos los puntos tales que cumplan la condiciòn.

excepto donde donde k es un nùmero real, tomamos k entre 0 y 2 para satisfacer la rama excepto los puntos que localizamos con la condicion donde k pertenece al campo de los nùmeros reales.


Gràficamente lo podemos ver:


--Karla 16:56 4 dic 2009 (UTC)karla

EJERCICIOS 1.4.3

1. Interprete geometricamente la no conformalidad de la funcion en el origen.




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