Compleja:ej-cap1.4
EJERCICIOS 1.4.1
1.-Demuestre la identidad .
sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f y , dos funciones definidas y derivables en un mismo punto .
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}=\frac{f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}
si se suma y se resta en el numerador , la fraccion anterior no varia.
sacando factor comun en los dos primeros sumandos, y , en los otros dos.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =\frac{g\left(z+h\right)\left[f\left(z+h\right)-f\left(z\right)\right]+f\left(z\right)\left[g\left(z+h\right)-g\left(z\right)\right]}{h}
.
si ahora se toman limites cuando tiende a cero.
, pues Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): g
es continua en ya que es derivable en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z
.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}=f'\left(z\right)
, por definicion de derivada.
, al no depender de .
, por definicion.
por tanto,
--Josua Da Vinci 20:36 17 nov 2009 (UTC)
2.- Encuentre una región donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i} sea holomorfa, calcule la derivada.
Solución
Utilizando la regla de derivación para cocientes
se tiene lo siguiente
es holomorfa en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbb{C-\left\{ \pm\right\} }
--Dali 01:56 15 nov 2009 (UTC)
3 Sea f la funcion deError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbb R^2 en en definida por (en notación compleja ),calcule su matriz jacobiana.
por definicion la matriz jacodiana es
partiendo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{array}{lcr} f(x,y) & = (x^2+y^2,0)\end{array}
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f_1=x^2+y^2 y
Usando las definiciones obtenemos su matriz jacobiana, obteniendo sus parciales.
, , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{f_2}{dx}= 0 , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{f_2}{dy}= 0 ,
Construyendo su matriz jacobiana tenemos finalmente.
--Karla 22:08 15 nov 2009 (UTC)Karla