Compleja:ej-cap1.4

EJERCICIOS 1.4.1

1.-Demuestre la identidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left(f.g\right)'\left(z\right)=f'\left(z\right)g\left(z\right)+f\left(z\right)g'\left(z\right) .

sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f y $g$, dos funciones definidas y derivables en un mismo punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z .

${\frac {\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}}={\frac {f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}}$

si se suma y se resta en el numerador Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f\left(z\right).g\left(z+h\right) , la fraccion anterior no varia.

$={\frac {f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right).g\left(z+h\right)+f\left(z\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}}$

sacando $g\left(z+h\right)$ factor comun en los dos primeros sumandos, y $f\left(z\right)$, en los otros dos.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =\frac{g\left(z+h\right)\left[f\left(z+h\right)-f\left(z\right)\right]+f\left(z\right)\left[g\left(z+h\right)-g\left(z\right)\right]}{h}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =g\left(z+h\right).\frac{f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}+f\left(z\right).\frac{g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h} .

si ahora se toman limites cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): h tiende a cero.

$\lim _{h\rightarrow 0}g\left(z+h\right)=g\left(z\right)$, pues Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): g es continua en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z ya que es derivable en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z .

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}=f'\left(z\right) , por definicion de derivada.

$\lim _{h\rightarrow 0}f\left(z\right)=f\left(z\right)$, al no depender $f\left(z\right)$ de $h$.

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}}=g'\left(z\right)$, por definicion.

por tanto, $\left(f.g\right)'\left(z\right)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}}$

---

2.- Encuentre una región donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i} sea holomorfa, calcule la derivada.

Solución

Utilizando la regla de derivación para cocientes

$f\left(z\right)={\frac {u}{g}}$

$f'\left(z\right)={\frac {u'g-g'u}{g^{2}}}$

se tiene lo siguiente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f\left(z\right)=\frac{3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}

$f'\left(z\right)={\frac {\left(12z^{3}-4z\right)\left(z^{3}-27i\right)-\left(3z^{2}\right)\left(3z^{4}-2z^{2}+i\right)}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f'\left(z\right)=\frac{3z^{6}+5z^{4}-324z^{3}-3iz+96z}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}}

$f\left(z\right)$ es holomorfa en $\mathbb {C-\left\{\pm \right\}}$

--Dali 01:56 15 nov 2009 (UTC)

---

3 Sea f la funcion deError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbb R^2 en $\mathbb {R} ^{2}$ en definida por ${\begin{array}{lcr}f(x,y)&=(x^{2}+y^{2},0)\end{array}}$(en notación compleja Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z\Rightarrow\ |z|^2 ),calcule su matriz jacobiana.

por definicion la matriz jacodiana es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{vmatrix} \frac{f_1}{dx} & \frac{f_1}{dy} \\ \frac{f_2}{dx} & \frac{f_2}{dy} \end{vmatrix}

partiendo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{array}{lcr} f(x,y) & = (x^2+y^2,0)\end{array}

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f_1=x^2+y^2 y $f_{2}=0$

Usando las definiciones obtenemos su matriz jacobiana, obteniendo sus parciales.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{f_1}{dx}= 2x , ${\frac {f_{1}}{dy}}=2y$, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{f_2}{dx}= 0 , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{f_2}{dy}= 0 ,

Construyendo su matriz jacobiana tenemos finalmente.

${\begin{vmatrix}2x&2y\\0&0\end{vmatrix}}$

--Karla 22:08 15 nov 2009 (UTC)Karla