Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.4»

De luz-wiki
Línea 275: Línea 275:
  
 
<math>e^z >-1</math>
 
<math>e^z >-1</math>
 +
 +
<math>e^x >-1</math> se cumple excepto en <math>k\pi</math>
 +
 +
tomamos k=0
 +
 +
<math>\cos \pik</math>
 
   
 
   
  

Revisión del 10:28 5 dic 2009

EJERCICIOS 1.4.1

1.-Demuestre la identidad \(\left(f.g\right)'\left(z\right)=f'\left(z\right)g\left(z\right)+f\left(z\right)g'\left(z\right)\).



sean \(f\) y \(g\), dos funciones definidas y derivables en un mismo punto \(z\).



\(\frac{\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}=\frac{f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}\)



si se suma y se resta en el numerador \(f\left(z\right).g\left(z+h\right)\), la fraccion anterior no varia.




\(=\frac{f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right).g\left(z+h\right)+f\left(z\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}\)



sacando \(g\left(z+h\right)\) factor comun en los dos primeros sumandos, y \(f\left(z\right)\), en los otros dos.




\(=\frac{g\left(z+h\right)\left[f\left(z+h\right)-f\left(z\right)\right]+f\left(z\right)\left[g\left(z+h\right)-g\left(z\right)\right]}{h}\)


\(=g\left(z+h\right).\frac{f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}+f\left(z\right).\frac{g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}\).



si ahora se toman limites cuando \(h\) tiende a cero.


\(\lim_{h\rightarrow 0}g\left(z+h\right)=g\left(z\right) \), pues \(g\) es continua en \(z\) ya que es derivable en \(z\).


\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}=f'\left(z\right)\), por definicion de derivada.


\(\lim_{h\rightarrow 0}f\left(z\right)=f\left(z\right)\), al no depender \(f\left(z\right)\) de \(h\).



\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}=g'\left(z\right)\), por definicion.


por tanto, \(\left(f.g\right)'\left(z\right)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}\)


\(\left(f.g\right)'\left(z\right)=f'\left(z\right)g\left(z\right)+f\left(z\right)g'\left(z\right)\)


--Josua Da Vinci 20:36 17 nov 2009 (UTC)



2.- Encuentre una región donde \( \frac{3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}\) sea holomorfa, calcule la derivada.

Solución

Utilizando la regla de derivación para cocientes

\(f\left(z\right)=\frac{u}{g} \)


\(f'\left(z\right)=\frac{u'g-g'u}{g^{2}} \)


se tiene lo siguiente

\(f\left(z\right)=\frac{3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i} \)


\(f'\left(z\right)=\frac{\left(12z^{3}-4z\right)\left(z^{3}-27i\right)-\left(3z^{2}\right)\left(3z^{4}-2z^{2}+i\right)}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}} \)


\(f'\left(z\right)=\frac{3z^{6}+5z^{4}-324z^{3}-3iz+96z}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}} \)


\(f\left(z\right)\) es holomorfa en \(\mathbb{C-\left\{ \pm\right\} } \)


--Dali 01:56 15 nov 2009 (UTC)




3 Sea f la funcion de\(\mathbb R^2 \) en \(\mathbb R^2 \) en definida por \(\begin{array}{lcr} f(x,y) & = (x^2+y^2,0)\end{array}\)(en notación compleja \(z\Rightarrow\ |z|^2\)),calcule su matriz jacobiana.


por definicion la matriz jacodiana es

\( \begin{vmatrix} \frac{f_1}{dx} & \frac{f_1}{dy} \\ \frac{f_2}{dx} & \frac{f_2}{dy} \end{vmatrix}\)

Para números que pertenecen al campo de los reales.

partiendo de \(\begin{array}{lcr} f(x,y) & = (x^2+y^2,0)\end{array}\)

donde \(f_1=x^2+y^2\) y \(f_2=0\)

Usando las definiciones obtenemos su matriz jacobiana, obteniendo sus parciales.

\(\frac{f_1}{dx}= 2x\), \(\frac{f_1}{dy}= 2y\), \(\frac{f_2}{dx}= 0\), \(\frac{f_2}{dy}= 0\),

Construyendo su matriz jacobiana tenemos finalmente.

\( \begin{vmatrix} 2x & 2y \\ 0 & 0 \end{vmatrix}\)

--Karla 22:08 15 nov 2009 (UTC)Karla


4. Sea \(f(z) = \)


EJERCICIOS 1.4.2

1.Verifique directamente que se cumplen las ecucaiones de Cauchy-Riemann para la funcion \(z\longmapsto\ 3z^3+2z\).



Sean \(A\) abierto en \(\C\), y \(f:A\longmapsto\C\),una funcion holomorfa en \(z_0\in A\), entonces si \(f\left(z\right)=u\left(z\right)+iv\left(z\right),\) se tiene.



(Ecuaciones de Cauchy-Riemann).



\(\frac{\partial u}{\partial x\,}(z_0)=\frac{\partial v}{\partial y\,}(z_0)\)

\(\frac{\partial u}{\partial y\,}(z_0)=-\frac{\partial v}{\partial x\,}(z_0)\)


\(\delta \left(z\right)=3z^3+2z\) y \(Z=X+iY\).


\(\delta \left(z\right)=3x^3-9xy^2+2x+i\left(9x^2y-3y^3+2y\right)\)


donde\[u\left(z_0\right)=3x^3-9xy^2+2x\] y \(v\left(z_0\right)=9x^2y-3y^3+2y\)


\(\frac{\partial u}{\partial x\,}(z_0)=9x^2-9y^2+2\)


\(\frac{\partial v}{\partial y\,}(z_0)=9x^2-9y^2+2\)


Y



\(\frac{\partial u}{\partial y\,}(z_0)=-18xy\)


\(-\frac{\partial v}{\partial x\,}(z_0)=-\left(18xy\right)\)

por tanto se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.


--Josua Da Vinci 23:40 3 dic 2009 (UTC)




4.- Demuestre que la función \(z\rightarrow\sin\overline{z}\) no es holomorfa en ningún punto del plano.

Primero desarrollando \(\sin\overline{z}\) como \(\sin\left(x-iy\right)\) tenemos lo siguiente\[f\left(z\right)=\sin\overline{z}=\sin x\cosh y-i\sinh y\cos x=u+iv\]

\(\therefore u=\sin x\cosh y ; v=-\sinh y\cos x\)

Ahora para mostrar que nuestra función no es holomorfa basta con probar que no se cumplen las Ecuaciones de Cauchy-Riemann

\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\) y \(\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\)

Calculando estas parciales tenemos que\[\frac{\partial u}{\partial x}=\cos x\cosh y\]

\(\frac{\partial v}{\partial y}=-\cos x\cosh y\)

Donde es facil ver que

\(\frac{\partial u}{\partial x}=\cos x\cosh y\neq-\cos x\cosh y=\frac{\partial v}{\partial y}\)

Para la otra igualdad calculamos las parciales

\(\frac{\partial u}{\partial y}=\sin x\sinh y\)

\(\frac{\partial v}{\partial x}=\sin x\sinh y\)

Y hacemos la comparación de la misma forma

\(\frac{\partial u}{\partial y}=\sin x\sinh y\neq-\sin x\sinh y=-\frac{\partial v}{\partial x}\)

Como se puede ver son distintas.

\(\therefore\) La función \(\sin\overline{z}\) no es holomorfa en ningun punto del plano.

--Oscar Adrian 06:23 4 dic 2009 (UTC)


6.Encuentre un dominio de analiticidad para la funciòn\(z\rightarrow\log(e^z+1)\) y encuentre la derivada, donde log denota la rama \((0,2\pi )\) de logaritmo


Para encontrar los punto de analiticidad, localizamos aquellos ddonde la funciòn no es analitica; es dexcir donde la funcion es real positiva, por tanto los puntos localizados se excluiràn del dominio.

Condiciòn\[e^z+1\ >0\]

Donde \(e^z=e^xe^{iy}\)

\(e^{iy}=0\)

\(e^z >-1\)

\(e^x >-1\) se cumple excepto en \(k\pi\)

tomamos k=0

\(\cos \pik\)




--Karla 16:56 4 dic 2009 (UTC)karla

EJERCICIOS 1.4.3

1. Interprete geometricamente la no conformalidad de la funcion \( \quad z \rightarrow \ z^4 \quad\) en el origen.




Compleja:ej-cap1.1

Compleja:ej-cap1.2

Compleja:ej-cap1.3