Compleja:ej-cap1.4

EJERCICIOS 1.4.1

1.-Demuestre la identidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left(f.g\right)'\left(z\right)=f'\left(z\right)g\left(z\right)+f\left(z\right)g'\left(z\right) .

sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): g , dos funciones definidas y derivables en un mismo punto $z$.

${\frac {\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}}={\frac {f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}}$

si se suma y se resta en el numerador $f\left(z\right).g\left(z+h\right)$, la fraccion anterior no varia.

$={\frac {f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right).g\left(z+h\right)+f\left(z\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}}$

sacando $g\left(z+h\right)$ factor comun en los dos primeros sumandos, y $f\left(z\right)$, en los otros dos.

$={\frac {g\left(z+h\right)\left[f\left(z+h\right)-f\left(z\right)\right]+f\left(z\right)\left[g\left(z+h\right)-g\left(z\right)\right]}{h}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =g\left(z+h\right).\frac{f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}+f\left(z\right).\frac{g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h} .

si ahora se toman limites cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): h tiende a cero.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lim_{h\rightarrow 0}g\left(z+h\right)=g\left(z\right) , pues Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): g es continua en $z$ ya que es derivable en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z .

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}}=f'\left(z\right)$, por definicion de derivada.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lim_{h\rightarrow 0}f\left(z\right)=f\left(z\right) , al no depender Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f\left(z\right) de $h$.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}=g'\left(z\right) , por definicion.

por tanto, $\left(f.g\right)'\left(z\right)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left(f.g\right)'\left(z\right)=f'\left(z\right)g\left(z\right)+f\left(z\right)g'\left(z\right)

--Josua Da Vinci 20:36 17 nov 2009 (UTC)

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2.- Encuentre una región donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i} sea holomorfa, calcule la derivada.

Solución

Utilizando la regla de derivación para cocientes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f\left(z\right)=\frac{u}{g}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f'\left(z\right)=\frac{u'g-g'u}{g^{2}}

se tiene lo siguiente

$f\left(z\right)={\frac {3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f'\left(z\right)=\frac{\left(12z^{3}-4z\right)\left(z^{3}-27i\right)-\left(3z^{2}\right)\left(3z^{4}-2z^{2}+i\right)}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f'\left(z\right)=\frac{3z^{6}+5z^{4}-324z^{3}-3iz+96z}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}}

$f\left(z\right)$ es holomorfa en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbb{C-\left\{ \pm\right\} }

--Dali 01:56 15 nov 2009 (UTC)

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3 Sea f la funcion deError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbb R^2 en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \mathbb R^2 en definida por ${\begin{array}{lcr}f(x,y)&=(x^{2}+y^{2},0)\end{array}}$(en notación compleja $z\Rightarrow \ |z|^{2}$),calcule su matriz jacobiana.

por definicion la matriz jacodiana es

${\begin{vmatrix}{\frac {f_{1}}{dx}}&{\frac {f_{1}}{dy}}\\{\frac {f_{2}}{dx}}&{\frac {f_{2}}{dy}}\end{vmatrix}}$

Para números que pertenecen al campo de los reales.

partiendo de ${\begin{array}{lcr}f(x,y)&=(x^{2}+y^{2},0)\end{array}}$

donde $f_{1}=x^{2}+y^{2}$ y $f_{2}=0$

Usando las definiciones obtenemos su matriz jacobiana, obteniendo sus parciales.

${\frac {f_{1}}{dx}}=2x$, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{f_1}{dy}= 2y , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{f_2}{dx}= 0 , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{f_2}{dy}= 0 ,

Construyendo su matriz jacobiana tenemos finalmente.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \begin{vmatrix} 2x & 2y \\ 0 & 0 \end{vmatrix}

--Karla 22:08 15 nov 2009 (UTC)Karla

4. Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z) =

EJERCICIOS 1.4.2

1. Verifique directamente que se cumplen las ecucaiones de Cauchy-Riemann para a funcion Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z\longmapsto\ 3z^3+2z

Partiendo de las definiciones de Cauchy-Riemann por definicion:

${\frac {\partial u}{\partial x\,}}(z)={\frac {\partial v}{\partial y\,}}(z)$

frac{dy}{dx}

EJERCICIOS 1.4.3

1. Interprete geometricamente la no conformalidad de la funcion $\quad z\rightarrow \ z^{4}\quad$ en el origen.

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Compleja:ej-cap1.1

Compleja:ej-cap1.2

Compleja:ej-cap1.3