Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.4»

De luz-wiki
Sin resumen de edición
 
(No se muestran 45 ediciones intermedias de 4 usuarios)
Línea 7: Línea 7:




sean <math>f</math> y <math>g</math>, dos funciones definidas y derivables en un mismo punto <math>z</math>.
Sean <math>f</math> y <math>g</math>, dos funciones definidas y derivables en un mismo punto <math>z</math>.




Línea 19: Línea 19:




si se suma y se resta en el numerador <math>f\left(z\right).g\left(z+h\right)</math>, la fraccion anterior no varia.
Si se suma y se resta en el numerador <math>f\left(z\right).g\left(z+h\right)</math>, la fracción anterior no varía.




Línea 33: Línea 33:




sacando <math>g\left(z+h\right)</math> factor comun en los dos primeros sumandos, y <math>f\left(z\right)</math>, en los otros dos.
Sacando <math>g\left(z+h\right)</math> factor comun en los dos primeros sumandos, y <math>f\left(z\right)</math>, en los otros dos.




Línea 50: Línea 50:




si ahora se toman limites cuando <math>h</math> tiende a cero.
Si ahora se toman limites cuando <math>h</math> tiende a cero.




Línea 56: Línea 56:




<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}=f'\left(z\right)</math>, por definicion de derivada.
<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}=f'\left(z\right)</math>, por definición de derivada.




Línea 64: Línea 64:




<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}=g'\left(z\right)</math>, por definicion.
<math>\lim_{h\rightarrow 0}\frac{g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}=g'\left(z\right)</math>, por definición.




Línea 75: Línea 75:




--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 20:36 17 nov 2009 (UTC)
----
 
Aportación de: [[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 20:36 17 nov 2009 (UTC)
 
----
----


Línea 94: Línea 93:




se tiene lo siguiente
Se tiene lo siguiente


<center><math>f\left(z\right)=\frac{3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}
<center><math>f\left(z\right)=\frac{3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}
Línea 113: Línea 112:




--[[Usuario:Dali|Dali]] 01:56 15 nov 2009 (UTC)
----
 
Aportación de:[[Usuario:Dali|Dali]] 01:56 15 nov 2009 (UTC)
 




----
----
'''3''' Sea f la funcion de<math>\mathbb R^2 </math> en <math>\mathbb R^2 </math>  en definida por <math>\begin{array}{lcr}
'''3''' Sea f la función de<math>\mathbb R^2 </math> en <math>\mathbb R^2 </math>  en definida por <math>\begin{array}{lcr}
f(x,y) & = (x^2+y^2,0)\end{array}</math>(en notación compleja <math>z\Rightarrow\ |z|^2</math>),calcule su matriz jacobiana.
f(x,y) & = (x^2+y^2,0)\end{array}</math>(en notación compleja <math>z\Rightarrow\ |z|^2</math>),calcule su matriz jacobiana.




por definicion la matriz jacodiana es  
Por definición la matriz jacobiana es  


<math>
<math>
\begin{vmatrix}
\begin{vmatrix}
   \frac{f_1}{dx} & \frac{f_1}{dy} \\
   \frac{df_1}{dx} & \frac{df_1}{dy} \\
  \frac{f_2}{dx}  & \frac{f_2}{dy}  
  \frac{df_2}{dx}  & \frac{df_2}{dy}  
\end{vmatrix}</math>
\end{vmatrix}</math>


Línea 140: Línea 138:
Usando las definiciones obtenemos su matriz jacobiana, obteniendo sus parciales.
Usando las definiciones obtenemos su matriz jacobiana, obteniendo sus parciales.


<math>\frac{f_1}{dx}= 2x</math>,
<math>\frac{df_1}{dx}= 2x</math>,
<math>\frac{f_1}{dy}= 2y</math>,
<math>\frac{df_1}{dy}= 2y</math>,
<math>\frac{f_2}{dx}= 0</math>,
<math>\frac{df_2}{dx}= 0</math>,
<math>\frac{f_2}{dy}= 0</math>,
<math>\frac{df_2}{dy}= 0</math>,


Construyendo su matriz jacobiana tenemos finalmente.
Construyendo su matriz jacobiana tenemos finalmente.
Línea 153: Línea 151:
\end{vmatrix}</math>
\end{vmatrix}</math>


--[[Usuario:Karla|Karla]] 22:08 15 nov 2009 (UTC)Karla
----
 
Aportación de: [[Usuario:Karla|Karla]] 22:08 15 nov 2009 (UTC)Karla
----


4. Sea <math>f(z) = </math>
4. Sea <math>f(z) = </math>
Línea 163: Línea 162:




'''1.Verifique directamente que se cumplen las ecucaiones de Cauchy-Riemann para la funcion <math>z\longmapsto\ 3z^3+2z</math>.'''
'''1.Verifique directamente que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann para la función <math>z\longmapsto\ 3z^3+2z</math>.'''




Línea 190: Línea 189:




donde:
Donde:


<math>u\left(z_0\right)=3x^3-9xy^2+2x</math>  y    <math>v\left(z_0\right)=9x^2y-3y^3+2y</math>
<math>u\left(z_0\right)=3x^3-9xy^2+2x</math>  y    <math>v\left(z_0\right)=9x^2y-3y^3+2y</math>
Línea 212: Línea 211:
<math>-\frac{\partial v}{\partial x\,}(z_0)=-\left(18xy\right)</math>
<math>-\frac{\partial v}{\partial x\,}(z_0)=-\left(18xy\right)</math>


por tanto se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Por tanto se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
 
 
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:40 3 dic 2009 (UTC)
 




----
Aportación de: [[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:40 3 dic 2009 (UTC)


----


----
'''4.- Demuestre que la función <math>z\rightarrow\sin\overline{z}</math> no es holomorfa en ningún punto del plano.'''
'''4.- Demuestre que la función <math>z\rightarrow\sin\overline{z}</math> no es holomorfa en ningún punto del plano.'''


Línea 240: Línea 237:
<math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\cos x\cosh y</math>
<math>\frac{\partial v}{\partial y}=-\cos x\cosh y</math>


Donde es facil ver que
Donde es fácil ver que


<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\cos x\cosh y\neq-\cos x\cosh y=\frac{\partial v}{\partial y}</math>
<math>\frac{\partial u}{\partial x}=\cos x\cosh y\neq-\cos x\cosh y=\frac{\partial v}{\partial y}</math>
Línea 258: Línea 255:
<math>\therefore</math> La función <math>\sin\overline{z}</math> no es holomorfa en ningun punto del plano.
<math>\therefore</math> La función <math>\sin\overline{z}</math> no es holomorfa en ningun punto del plano.


--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 06:23 4 dic 2009 (UTC)
----
Aportación de: [[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 06:23 4 dic 2009 (UTC)
 
----
 
'''5. Encuentre un dominio de analiticidad para la funcion'''<math>{z}\rightarrow log(z-7+i)</math> '''y calcule la derivada, donde log denota la rama de logaritmo con valores en <math>( \frac {\pi}{2},\frac {5 \pi}{2})</math> .'''
 
 
Solución:
 
sea <math>z \in \mathbb{C},z= x +iy</math>
 
 


<math> \ f(z)=log(z-7+i)=log(x + iy -7 +i)= log\left ( (x-7)+i (y+1)\right ) </math>


6.Encuentre un dominio de analiticidad para la funciòn<math>z\rightarrow\log(e^z+1)</math> y encuentre la derivada, donde log denota la rama <math>(0,2\pi )</math> de logaritmo




Para encontrar los punto de analiticidad, localizamos aquellos ddonde la funciòn no es analitica; es dexcir donde la funcion es real positiva, por tanto los puntos localizados se excluiràn del dominio.
con rama en <math>( \frac {\pi}{2},\frac {5 \pi}{2})</math>


Condiciòn:
 
esto es  <math>\ x-7=0 \quad \ y \geq -1</math>
 
 
<math>\therefore </math> el dominio de analiticidad es <math> A =\mathbb {C} - \lbrace z \in \mathbb {C} /x=7 , y \geq -1 \rbrace  </math>
 
la derivada de <math>\ f(z)=log(z-7+i)</math> es:
 
 
<math>\ f'(z)=\frac{1}{z-7+i} </math>
 
----
Aportación de: [[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 21:57 5 dic 2009 (UTC)
----
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Encuentre un dominio de analiticidad para la función
 
<math>z\rightarrow\log(e^z+1)</math>
 
y encuentre la derivada, donde log denota la rama <math>(0,2\pi )</math> de logaritmo
 
 
Para encontrar los puntos de analiticidad, localizamos aquellos donde la función no es analítica; es decir donde la función es real positiva, por tanto los puntos localizados se excluirán del dominio.
 
Condición:


<math>e^z+1\ >0</math>
<math>e^z+1\ >0</math>
Línea 284: Línea 325:




'''CASO 2'''    k= Nùmero impar,  por ejemplo k=1
'''CASO 2'''    k= Número impar,  por ejemplo k=1


<math>cos\pi k</math>=-1    ,  <math>log (-1)=\mathbb{C}</math> por lo tanto <math>e^x >-1</math> no se cumple
<math>cos\pi k</math>=-1    ,  <math>log (-1)=\mathbb{C}</math> por lo tanto <math>e^x >-1</math> no se cumple




'''CASO 3'''    k=Nùmero par, por ejmplo k=2
'''CASO 3'''    k=Número par, por ejemplo k=2


<math>cos\pi k</math>=1      ,  <math>log 1=0</math> en k=2 no se cumple
<math>cos\pi k</math>=1      ,  <math>log 1=0</math> en k=2 no se cumple
Línea 295: Línea 336:




Entonces en estos puntos la funciòn '''es no analitica'''; por lo tanto en todos los demàs puntos la funciòn serà analìtica. En estos puntos de no analiticidad no tiene sentido hablar de derivada.
Entonces en estos puntos la función '''es no analítica'''; por lo tanto en todos los demás puntos la función será analítica. En estos puntos de no analiticidad no tiene sentido hablar de derivada.




Por tanto solo tiene sentido hablar de la derivada en el dominio que hemos definido, la derivada de la funcion:
Por tanto solo tiene sentido hablar de la derivada en el dominio que hemos definido, la derivada de la función:




Línea 306: Línea 347:




El dominio de la funcion <math>z\rightarrow\log(e^z+1)</math> son todos los puntos tales que cumplan la condiciòn.
El dominio de la función <math>z\rightarrow\log(e^z+1)</math> son todos los puntos tales que cumplan la condición.


<math>e^z >-1</math> excepto donde  <math>\pi k</math> donde k es un nùmero real, tomamos k entre 0 y 2 para satisfacer la rama <math>(0,2\pi )</math> excepto los puntos que localizamos con la condicion <math>k\pi</math> donde k pertenece al campo de los nùmeros reales.
<math>e^z >-1</math> excepto donde  <math>\pi k</math> donde k es un número real, tomamos k entre 0 y 2 para satisfacer la rama <math>(0,2\pi )</math> excepto los puntos que localizamos con la condición <math>k\pi</math> donde k pertenece al campo de los números reales.




Gràficamente lo podemos ver:
Gráficamente lo podemos ver:


[[Archivo:Analiticidad2.JPG]]




--[[Usuario:Karla|Karla]] 16:56 4 dic 2009 (UTC)karla
<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:Complejaej-cap1.4.2-6Log.svg|thumb|none|500px|<span style="color:#0033CC"> En estos puntos la función no es analítica.  </span> ]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:Complejaej-cap1.4.2-6Fun.svg|thumb|none|500px|<span style="color:#800000"> Puntos donde la función logaritmo no es analítica.  </span> ]] </li>
</ul></div>
 
 
El dominio de la función todo los puntos restantes.
 
----
Aportación de: [[Usuario:Karla|Karla]] 16:56 4 dic 2009 (UTC)karla
----


==EJERCICIOS 1.4.3 ==
==EJERCICIOS 1.4.3 ==




'''1.''' Interprete geometricamente la no conformalidad de la funcion <math> \quad z  \rightarrow \ z^4 \quad</math> en el origen.
'''1.''' Interprete geométricamente la no con formalidad de la función <math> \quad z  \rightarrow \ z^4 \quad</math> en el origen.


Definición de con formalidad. Si aplicamos transformaciones el ángulo se conserva.
Por lo anterior buscamos en el origen los puntos donde los ángulos, después de la rotación no se conservan.


En la función <math> \quad z  \rightarrow \ z^4 \quad</math>


Tomamos <math>\phi=\pi </math> es el ángulo que forman los vectores <math>(-1,0)</math> Y<math>(1,0)</math>
En ángulo después de aplicar la transformación de la función <math> \quad z  \rightarrow \ z^4 \quad</math> serà
<math>\theta =0</math> los vectores son paralelos.


----
Gráficamente


[[Compleja:ej-cap1.1]]


[[Compleja:ej-cap1.2]]
<div><ul>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:Complejaej-cap1.4.3a.svg|thumb|none|500px|Antes de aplicar la transformación.]] </li>
<li style="display: inline-block; vertical-align: top;"> [[File:Complejaej-cap1.4.3b.svg|thumb|none|500px|Después de aplicar la transformación.]] </li>
</ul></div>


[[Compleja:ej-cap1.3]]


[[categoría:Compleja]]
----
Aportación de:  [[Usuario:Karla|Karla]] 16:55 7 dic 2009 (UTC)Karla
----

Revisión actual - 14:46 25 abr 2023

EJERCICIOS 1.4.1

1.-Demuestre la identidad .



Sean y , dos funciones definidas y derivables en un mismo punto .





Si se suma y se resta en el numerador , la fracción anterior no varía.






Sacando factor comun en los dos primeros sumandos, y , en los otros dos.





.



Si ahora se toman limites cuando tiende a cero.


, pues es continua en ya que es derivable en .


, por definición de derivada.


, al no depender de .



, por definición.


por tanto,




Aportación de: Josua Da Vinci 20:36 17 nov 2009 (UTC)


2.- Encuentre una región donde sea holomorfa, calcule la derivada.

Solución

Utilizando la regla de derivación para cocientes



Se tiene lo siguiente




es holomorfa en



Aportación de:Dali 01:56 15 nov 2009 (UTC)



3 Sea f la función de en en definida por (en notación compleja ),calcule su matriz jacobiana.


Por definición la matriz jacobiana es

Para números que pertenecen al campo de los reales.

partiendo de

donde y

Usando las definiciones obtenemos su matriz jacobiana, obteniendo sus parciales.

, , , ,

Construyendo su matriz jacobiana tenemos finalmente.


Aportación de: Karla 22:08 15 nov 2009 (UTC)Karla


4. Sea


EJERCICIOS 1.4.2

1.Verifique directamente que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann para la función .



Sean abierto en , y ,una funcion holomorfa en , entonces si se tiene.



(Ecuaciones de Cauchy-Riemann).




y .



Donde:

y




Y




Por tanto se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.



Aportación de: Josua Da Vinci 23:40 3 dic 2009 (UTC)


4.- Demuestre que la función no es holomorfa en ningún punto del plano.

Primero desarrollando como tenemos lo siguiente:

Ahora para mostrar que nuestra función no es holomorfa basta con probar que no se cumplen las Ecuaciones de Cauchy-Riemann

y

Calculando estas parciales tenemos que:

Donde es fácil ver que

Para la otra igualdad calculamos las parciales

Y hacemos la comparación de la misma forma

Como se puede ver son distintas.

La función no es holomorfa en ningun punto del plano.


Aportación de: Oscar Adrian 06:23 4 dic 2009 (UTC)


5. Encuentre un dominio de analiticidad para la funcion y calcule la derivada, donde log denota la rama de logaritmo con valores en .


Solución:

sea



con rama en


esto es


el dominio de analiticidad es


la derivada de es:



Aportación de: Luis Antelmo 21:57 5 dic 2009 (UTC)






6. Encuentre un dominio de analiticidad para la función

y encuentre la derivada, donde log denota la rama de logaritmo


Para encontrar los puntos de analiticidad, localizamos aquellos donde la función no es analítica; es decir donde la función es real positiva, por tanto los puntos localizados se excluirán del dominio.

Condición:

Donde

se cumple excepto en

CASO 1 k=0


=1 obteniendo el logaritmo y por lo tanto la condicion no se cumple


CASO 2 k= Número impar, por ejemplo k=1

=-1 , por lo tanto no se cumple


CASO 3 k=Número par, por ejemplo k=2

=1 , en k=2 no se cumple


Entonces en estos puntos la función es no analítica; por lo tanto en todos los demás puntos la función será analítica. En estos puntos de no analiticidad no tiene sentido hablar de derivada.


Por tanto solo tiene sentido hablar de la derivada en el dominio que hemos definido, la derivada de la función:


donde


El dominio de la función son todos los puntos tales que cumplan la condición.

excepto donde donde k es un número real, tomamos k entre 0 y 2 para satisfacer la rama excepto los puntos que localizamos con la condición donde k pertenece al campo de los números reales.


Gráficamente lo podemos ver:


  • En estos puntos la función no es analítica.
  • Puntos donde la función logaritmo no es analítica.


El dominio de la función todo los puntos restantes.


Aportación de: Karla 16:56 4 dic 2009 (UTC)karla


EJERCICIOS 1.4.3

1. Interprete geométricamente la no con formalidad de la función en el origen.

Definición de con formalidad. Si aplicamos transformaciones el ángulo se conserva. Por lo anterior buscamos en el origen los puntos donde los ángulos, después de la rotación no se conservan.

En la función

Tomamos es el ángulo que forman los vectores Y En ángulo después de aplicar la transformación de la función serà los vectores son paralelos.

Gráficamente


  • Antes de aplicar la transformación.
  • Después de aplicar la transformación.



Aportación de: Karla 16:55 7 dic 2009 (UTC)Karla