Compleja:ej-cap1.4

EJERCICIOS 1.4.1

1.-Demuestre la identidad $\left(f.g\right)'\left(z\right)=f'\left(z\right)g\left(z\right)+f\left(z\right)g'\left(z\right)$.

sean $f$ y $g$, dos funciones definidas y derivables en un mismo punto $z$.

${\frac {\left(f.g\right)\left(z+h\right)-\left(f.g\right)\left(z\right)}{h}}={\frac {f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}}$

si se suma y se resta en el numerador $f\left(z\right).g\left(z+h\right)$, la fraccion anterior no varia.

$={\frac {f\left(z+h\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right).g\left(z+h\right)+f\left(z\right).g\left(z+h\right)-f\left(z\right)g\left(z\right)}{h}}$

sacando $g\left(z+h\right)$ factor comun en los dos primeros sumandos, y $f\left(z\right)$, en los otros dos.

$={\frac {g\left(z+h\right)\left[f\left(z+h\right)-f\left(z\right)\right]+f\left(z\right)\left[g\left(z+h\right)-g\left(z\right)\right]}{h}}$

$=g\left(z+h\right).{\frac {f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}}+f\left(z\right).{\frac {g\left(z+h\right)-g\left(z\right)}{h}}$

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2.- Encuentre una región donde ${\frac {3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}}$ sea holomorfa, calcule la derivada.

Solución

Utilizando la regla de derivación para cocientes

$f\left(z\right)={\frac {u}{g}}$

$f'\left(z\right)={\frac {u'g-g'u}{g^{2}}}$

se tiene lo siguiente

$f\left(z\right)={\frac {3z^{4}-2z^{2}+i}{z^{3}-27i}}$

$f'\left(z\right)={\frac {\left(12z^{3}-4z\right)\left(z^{3}-27i\right)-\left(3z^{2}\right)\left(3z^{4}-2z^{2}+i\right)}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}}}$

$f'\left(z\right)={\frac {3z^{6}+5z^{4}-324z^{3}-3iz+96z}{\left(z^{3}-27i\right)^{2}}}$

$f\left(z\right)$ es holomorfa en $\mathbb {C-\left\{\pm \right\}}$

--Dali 01:56 15 nov 2009 (UTC)

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3 Sea f la funcion de$\mathbb {R} ^{2}$ en $\mathbb {R} ^{2}$ en definida por ${\begin{array}{lcr}f(x,y)&=(x^{2}+y^{2},0)\end{array}}$(en notación compleja $z\Rightarrow \ |z|^{2}$),calcule su matriz jacobiana.

por definicion la matriz jacodiana es

${\begin{vmatrix}{\frac {f_{1}}{dx}}&{\frac {f_{1}}{dy}}\\{\frac {f_{2}}{dx}}&{\frac {f_{2}}{dy}}\end{vmatrix}}$

partiendo de ${\begin{array}{lcr}f(x,y)&=(x^{2}+y^{2},0)\end{array}}$

donde $f_{1}=x^{2}+y^{2}$ y $f_{2}=0$

Usando las definiciones obtenemos su matriz jacobiana, obteniendo sus parciales.

${\frac {f_{1}}{dx}}=2x$, ${\frac {f_{1}}{dy}}=2y$, ${\frac {f_{2}}{dx}}=0$, ${\frac {f_{2}}{dy}}=0$,

Construyendo su matriz jacobiana tenemos finalmente.

${\begin{vmatrix}2x&2y\\0&0\end{vmatrix}}$

--Karla 22:08 15 nov 2009 (UTC)Karla