Compleja:ej-cap1.3

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SECCION 1.3.1

2.- Exprese \(e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)\), en la forma \(x+iy\).

por propiedades de la exponencial sabemos que\[e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)\]







4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje \(x\), se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.


Solución.

Basta con demostrar que

\(\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)\)

Sea

\(\exp\left(iy\right)=cosy+iseny \)


Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:

\(\exp\left(iy\right)=cosy+iseny\)
\(\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right) \)


\(\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)\)


Debemos tener en cuenta que \(Im z = y \!\) es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir \(\! Re z = x\).


--Dali 04:12 15 nov 2009 (UTC)



SECCION 1.3.2

SECCION 1.3.3

1.Calcule todos los valores \((1-i)^{4-2i}\) \( i^w\) \(z^i\)

recordando

\(lnab=lna+lnb\) , \(lna^b=blna\) y \(e^{lna}=a\)

\((1-i)^{4-2i}\) = \(e^{ln(1-i)^{4-2i}}\)

\( e^{(4-2i)ln(1-i)}\)

\(ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4\)

sustituyendo \(ln(1-i)\)

\(e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}\) Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos \(2k\pi\)

\(e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}\)

\(e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}\)

\(e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}\)

donde

\(e^{i(8k)\pi}\) y \(e^{-i\pi}\) valen 1 \(k=1\) los valores encontrados seran multiplos de \(\pi\)

\(-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}\)

\(-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}\) donde k pertenece a los numeros naturales.

ahora encontrando los valores \( i^w\)

\( i^w = e ^{lni^{w}}\) donde \(lni=ln1+i\pi/2\) Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos \(2k\pi\)

\( e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}\)

\(e^{iw((4k+1)/2)\pi}\) para cualquier w

finalmente calculando los valores \(z^i\)

\(z^i= e^{ilnz}\)

\(e^{i(ln|z|+iargz)}\)

\(e^{-(argz+iln|z|}\) para cualquier z

--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.





3.- Demuestre que si \(w\in\mathbb{R}\), entonces \(\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}\).


Solución.


Sea \(z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\)


Entonces


\(\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right| \)

pues

\( r=\left|z\right| \)



como

\( \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1 \)


si tomamos el cambio \(\gamma=w\theta\!\) obtenemos que


\(\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w} \)


Pues \(w\in\mathbb{R}\).



--Dali 02:23 15 nov 2009 (UTC)






4. Exhiba \( z, w \in \mbox{C} \) para las cuales no se cumpla \(\big | z^w\big | = \big | z\big | ^{\big | w\big |} \).


Sean \(z, w \in \mbox{C} \) de la forma \(w = a + ib \) \(z = x + iy\)

como \(\big |w\big | \in \mbox{R}\) se cumple \(\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |\)

desarrollamos\[\big | z^w\big | = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |\]

\(e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}\)

\(\Longleftrightarrow \) \(\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)\)

\( \Rightarrow w = \big |w\big |\)

Esta igualdad se cumple para \( w = a + ib \) con \( b = 0 \)

por lo tanto \(\big | z^w\big | = \big | z\big | ^{\big | w\big |} \) no se cumple para \( w = a + ib \) con \(b \ne 0\)--Gabita 20:22 12 nov 2009 (UTC)

SECCION 1.3.4

1. Pruebe la identidad \(\ {cosh t= cos(it)}\).


Sabemos que


\(cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}\)


\(cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}\)


Entonces


\(cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t\)


\(\therefore \)


\(\ {cosh t= cos(it)}\)



--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)



3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.


Dadas \(\ z,w \in C\), se cumple la siguiente igualdad


\(\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}\).


Sabemos que


\(cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\)


\(sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)


Entonces


\(cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}\)


\(=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]\)


\(=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)\)


\(\therefore \)


\(\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}\)



--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)






KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.

--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla