Compleja:ej-cap1.3

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1. Sea \(A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,\frac{-\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}\). ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?


La imagen de la recta horizintal \(Imz=\frac{\pi }{2}\)


Bajo esta función es la semilínea que surge del origen con argumento \(\frac{\pi }{2}\) ,


esto es, la que pasa por el punto


\(e^{i\frac{\pi}{2}}=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i\)


De igual forma para \(Imz=-\frac{\pi }{2}\)


\(e^{-i\frac{\pi}{2}}=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i\)


Tenemos también que \(2\in Re\)


entonces la linea vertical \(\ Rez=2\)


se transforma en el círculo de radio


\(e^{2}\approx 7.4=r\)


De igual forma para \(\ Rez=0\)


que se transforma en el circulo de radio


\(\ e^{0}=1=r\)



--Ralf Gutierrez 17:37 10 nov 2009 (UTC)


2. Exprese \(e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)\), en la forma \(x+iy\).


\(e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)\)

se puede expresar como\[e^{4} e^{i\frac{\pi}{6}}\]

y \(e^{i\frac{\pi}{6}}\), como\[cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\],

entonces, \(e^{4} e^{i\frac{\pi}{6}}=e^{4}\left (cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right )\)

\(e^{4} e^{i\frac{\pi}{6}}=e^{4}cos{\frac{\pi}{6}}+ie^{4}sen{\frac{\pi}{6}}\)asi de esta forma,

\(e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.49\)


--Josua Da Vinci 18:22 27 oct 2009 (UTC)



4.- Demuestre que bajo la acción de la función exponencial, dos lineas horizontales, simétricas con respecto al eje \(x\), se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.


Solución


Basta con demostrar que

\(\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)\)

Sea

\(\exp\left(iy\right)=cosy+iseny\)


Si tomamos el conjugado de la ultima expresión tenemos que:


\(\exp\left(iy\right)=cosy+iseny\)


\(\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right) \)


\(\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right) \)


Debemos tener en cuenta que Im z = y es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir Re z = x

--Dali 02:03 15 nov 2009 (UTC)








5. ¿Qué puntos del plano complejo cumplen \(\qquad e^{iw}\, = e^{i \bar{w}}\,\qquad \)?


Sea \( w \in \mbox{C} \) de la forma \(\qquad w = x + iy\)

con \( x,y \in \mbox{R}  \)

Tenemos \(\qquad e^{iw}\, = e^{i \bar{w}}\,\qquad \) por lo tanto \(iw = i\bar{w}\)

\((-i)iw = (-i)i\bar{w}\)

\(w = \bar{w}\)   es decir

\(\qquad x + iy = x - iy\)

\(\qquad iy = - iy\)

\(\qquad 2iy = 0\) entonces

\(\qquad y = 0\)

Por lo tanto \[w = \bar{w} = x\]

 \(\qquad e^{iw}\, = e^{i \bar{w}}\,\qquad
\) es valido para todos los puntos del eje real del plano complejo.

--Gabita 19:06 12 nov 2009 (UTC)

SECCION 1.3.3

1.Calcule todos los valores \((1-i)^{4-2i}\) \( i^w\) \(z^i\)

recordando

\(lnab=lna+lnb\) , \(lna^b=blna\) y \(e^{lna}=a\)

\((1-i)^{4-2i}\) = \(e^{ln(1-i)^{4-2i}}\)

\( e^{(4-2i)ln(1-i)}\)

\(ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4\)

sustituyendo \(ln(1-i)\)

\(e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}\) Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos \(2k\pi\)

\(e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}\)

\(e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}\)

\(e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}\)

donde

\(e^{i(8k)\pi}\) y \(e^{-i\pi}\) valen 1 \(k=1\) los valores encontrados seran multiplos de \(\pi\)

\(-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}\)

\(-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}\) donde k pertenece a los numeros naturales.

ahora encontrando los valores \( i^w\)

\( i^w = e ^{lni^{w}}\) donde \(lni=ln1+i\pi/2\) Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos \(2k\pi\)

\( e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}\)

\(e^{iw((4k+1)/2)\pi}\) para cualquier w

finalmente calculando los valores \(z^i\)

\(z^i= e^{ilnz}\)

\(e^{i(ln|z|+iargz)}\)

\(e^{-(argz+iln|z|}\) para cualquier z


--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.


4. Exhiba \( z, w \in \mbox{C} \) para las cuales no se cumpla \(\big | z^w\big | = \big | z\big | ^{\big | w\big |} \).


Sean \(z, w \in \mbox{C} \) de la forma \(w = a + ib \) \(z = x + iy\)

como \(\big |w\big | \in \mbox{R}\) se cumple \(\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |\)

desarrollamos\[\big | z^w\big | = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |\]

\(e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}\)

\(\Longleftrightarrow \) \(\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)\)

\( \Rightarrow w = \big |w\big |\)

Esta igualdad se cumple para \( w = a + ib \) con \( b = 0 \)

por lo tanto \(\big | z^w\big | = \big | z\big | ^{\big | w\big |} \) no se cumple para \( w = a + ib \) con \(b \ne 0\)--Gabita 20:22 12 nov 2009 (UTC)



SECCION 1.3.4


1. Pruebe la identidad \(\ {cosh t= cos(it)}\).


Sabemos que


\(cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}\)


\(cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}\)


Entonces


\(cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t\)


\(\therefore \)


\(\ {cosh t= cos(it)}\)



--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)



3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.


Dadas \(\ z,w \in C\), se cumple la siguiente igualdad


\(\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}\).


Sabemos que


\(cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\)


\(sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)


Entonces


\(cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}\)


\(=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]\)


\(=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)\)


\(\therefore \)


\(\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}\)



--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)




SECCION 1.4.1

3. Sea \(f\) la funcion de .... Calcule su matriz jacobiana



KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.

--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla