Compleja:ej-cap1.3

1. Sea $A=\left\{z\in C\mid 0<Rez<2,{\frac {-\pi }{2}}<Imz<{\frac {\pi }{2}}\right\}$. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?

La imagen de la recta horizintal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Imz=\frac{\pi }{2}

Bajo esta función es la semilínea que surge del origen con argumento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\pi }{2} ,

esto es, la que pasa por el punto

$e^{i{\frac {\pi }{2}}}=cos{\frac {\pi }{2}}+isen{\frac {\pi }{2}}=i$

De igual forma para $Imz=-{\frac {\pi }{2}}$

$e^{-i{\frac {\pi }{2}}}=cos{\frac {\pi }{2}}-isen{\frac {\pi }{2}}=-i$

Tenemos también que $2\in Re$

entonces la linea vertical $\ Rez=2$

se transforma en el círculo de radio

$e^{2}\approx 7.4=r$

De igual forma para $\ Rez=0$

que se transforma en el circulo de radio

$\ e^{0}=1=r$

--Ralf Gutierrez 17:37 10 nov 2009 (UTC)

2. Exprese $e^{\left(4+i{\frac {\pi }{6}}\right)}$, en la forma $x+iy$.

$e^{\left(4+i{\frac {\pi }{6}}\right)}$

se puede expresar como:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{4} e^{i\frac{\pi}{6}}

y $e^{i{\frac {\pi }{6}}}$, como: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}} ,

entonces, $e^{4}e^{i{\frac {\pi }{6}}}=e^{4}\left(cos{\frac {\pi }{6}}+isen{\frac {\pi }{6}}\right)$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{4} e^{i\frac{\pi}{6}}=e^{4}cos{\frac{\pi}{6}}+ie^{4}sen{\frac{\pi}{6}} asi de esta forma,

$e^{\left(4+i{\frac {\pi }{6}}\right)}=54.59+i0.49$

--Josua Da Vinci 18:22 27 oct 2009 (UTC)

5. ¿Qué puntos del plano complejo cumplen $\qquad e^{iw}\,=e^{i{\bar {w}}}\,\qquad$?

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w \in \mbox{C} $\mathbb {ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ} \,$

SECCION 1.3.3

1.Calcule todos los valores $(1-i)^{4-2i}$ $i^{w}$ $z^{i}$

recordando

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): lnab=lna+lnb , $lna^{b}=blna$ y $e^{lna}=a$

$(1-i)^{4-2i}$ = $e^{ln(1-i)^{4-2i}}$

$e^{(4-2i)ln(1-i)}$

$ln(1-i)=ln{\sqrt {2}}-i\pi /4$

sustituyendo $ln(1-i)$

$e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi /4+2k\pi )}$ Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos $2k\pi$

$e^{2ln2+2(-\pi /4+2k\pi )+i4((-\pi /4+2k\pi )-ln2)}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}

donde

$e^{i(8k)\pi }$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{-i\pi} valen 1 $k=1$ los valores encontrados seran multiplos de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \pi

$-4e^{(4k-1/2)\pi }e^{-iln2}$

$-4e^{((4k-1/2)\pi -iln2)}$ donde k pertenece a los numeros naturales.

ahora encontrando los valores $i^{w}$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): i^w = e ^{lni^{w}} donde $lni=ln1+i\pi /2$ Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos $2k\pi$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}

$e^{iw((4k+1)/2)\pi }$ para cualquier w

finalmente calculando los valores $z^{i}$

$z^{i}=e^{ilnz}$

$e^{i(ln|z|+iargz)}$

$e^{-(argz+iln|z|}$ para cualquier z

--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.

SECCION 1.3.4

1. Pruebe la identidad $\ {cosht=cos(it)}$.

Sabemos que

$cost={\frac {e^{it}+e^{-it}}{2}}$

$cosht={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}$

Entonces

$cos(it)={\frac {e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}={\frac {1}{2}}(e^{-t}+e^{t})={\frac {1}{2}}(e^{t}+e^{-t})=cosht$

$\therefore$

$\ {cosht=cos(it)}$

--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)

3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.

Dadas $\ z,w\in C$, se cumple la siguiente igualdad

$\ {cos(z+w)=cosz{cosw}-senz{senw}}$.

Sabemos que

$cosz={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$

$senz={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

Entonces

$cosz{cosw}-senz{senw}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac {e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac {e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}$

$={\frac {1}{4}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right]+{\frac {1}{4}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right]$

$={\frac {1}{2}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right]=cos(z+w)$

$\therefore$

$\ {cos(z+w)=cosz{cosw}-senz{senw}}$

--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)

SECCION 1.4.1

3. Sea $f$ la funcion de .... Calcule su matriz jacobiana

--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla