Compleja:ej-cap1.3

SECCION 1.3.1

1. Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \} . ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.

La imagen de la recta horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Imz=\frac{\pi }{2} bajo esta función

es la semilinea que surge del origen con argumento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\pi }{2} ,

entonces lo que pasa por el punto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i

De igual forma para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Imz=-\frac{\pi }{2}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i

Por otra parte tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 2\in Re , entonces la linea vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ Rez=2

se transforma en el circulo de radio

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^2\thickapprox 7.4

De igual forma para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ Rez=0 , se transforma en el circulo de radio

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ e^0=1

--Ralf Gutierrez 03:11 22 nov 2009 (UTC)

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2.- Exprese Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) , en la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x+iy .

por propiedades de la exponencial sabemos que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)

y que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}

entonces la exprecion completa seria:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498 .

--Josua Da Vinci 18:19 17 nov 2009 (UTC)

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3.- Demuestre que la funcion exponencial compleja no está acotada en ninguna semirrecta por el origen. Describa la imagen.

Para realizar esta demostracion tomamos la función exponencial compleja de la siguiente manera:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left[iy\right]=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{iy}{n}\right)^{n}

Recordando que la exponencial se puede escribir de la siguiente manera

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r_{n}\left(cos\theta_{n}+isen\theta_{n}\right)=\left(1+\frac{iy}{n}\right)

Ahora tomando la norma al cuadrado en ambos lados

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r_{n}^{2}=\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)

Despejando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r{}_{n} y elevando a la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n , tenemos la siguiente expresion:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r_{n}^{n}=\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)^{\frac{n}{2}}

Tomando el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ln

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ln\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)=\frac{n}{2}ln\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)

Hacemos el cambio de variable Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n=\frac{1}{u} y tomamos el limite

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}ln\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)=\lim_{u\to0}\frac{\left(1+u^{2}y^{2}\right)}{u^{2}}\frac{u}{2}=0

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore\lim_{n\to\infty}r_{n}^{n}=1

Para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \theta_{n}=\arctan\frac{y}{n} tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n\theta_{n}=n\arctan\frac{y}{n} , haciendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n=\frac{1}{u} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lim_{u\to0}\frac{\arctan uy}{u}=y .

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore n\theta_{n}\rightarrow y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left[iy\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{iy}{n}\right)^{n}=\cos y+i\sin y .

Con esto queda demostrado que la exponencial compleja no está acotada por ninguna semirrecta.

La imagen se transforman en un rayo con ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y , que parte del origen y que va creciendo conforme crece la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x .

--Oscar Adrian 04:19 2 dic 2009 (UTC)

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4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x , se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.

Solución.

Basta con demostrar que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)

Sea

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left(iy\right)=cosy+iseny

Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left(iy\right)=cosy+iseny Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)

Debemos tener en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Im z = y \! es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \! Re z = x .

--Dali 04:12 15 nov 2009 (UTC)

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5 ¿Que puntos del plano complejo cumplen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left(iw\right)=\exp\left(i\overline{w}\right) ?

Solución:

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w=n\pi y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{w}=-n\pi

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left(iw\right)=\exp\left(in\pi\right)=\left(cos\left(n\pi\right)+isen\left(n\pi\right)\right)=\pm1 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left(i\overline{w}\right)=\exp\left(-in\pi\right)=\left(cos\left(-n\pi\right)+isen\left(-n\pi\right)\right)=\left(cos\left(n\pi\right)-isen\left(n\pi\right)\right)=\pm1

(Recordemos que: $sen\left(n\pi \right)=0$ y $cos\left(n\pi \right)=\pm 1)$

Por lo tanto

$\exp \left(iw\right)=\exp \left(i{\overline {w}}\right)=\pm 1$

--Dali 07:12 7 dic 2009 (UTC)

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SECCION 1.3.2

2 Calcule todos los valores que toman las distintas ramas del logaritmo de ${\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

Solución.

Expresemos $z={\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}$ en su forma polar

$r={\sqrt {\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}}}=1$

$\theta ={\frac {\pi }{3}}$

Ahora recordemos que

$\ln z=\ln r+i\left(\theta +2k\pi \right)$

Si tomamos los valores encontrados para $r$ y $\theta$ la ultima expresion toma la forma

$\ln z=\ln \left(1\right)+i\left({\frac {\pi }{3}}+2k\pi \right)=0+i\left({\frac {\pi }{3}}+2k\pi \right)$

De donde el valor principal se obtiene haciendo $k=0$.

--Dali 07:21 7 dic 2009 (UTC)

SECCION 1.3.3

1.Calcule todos los valores $(1-i)^{4-2i}$ $i^{w}$ $z^{i}$

recordando

$lnab=lna+lnb$ , $lna^{b}=blna$ y $e^{lna}=a$

$(1-i)^{4-2i}$ = $e^{ln(1-i)^{4-2i}}$

$e^{(4-2i)ln(1-i)}$

$ln(1-i)=ln{\sqrt {2}}-i\pi /4$

sustituyendo $ln(1-i)$

$e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi /4+2k\pi )}$ Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos $2k\pi$

$e^{2ln2+2(-\pi /4+2k\pi )+i4((-\pi /4+2k\pi )-ln2)}$

$e^{ln4+((4k-1)/2)\pi +i(8k-1)\pi -iln2}$

$e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi }e^{i(8k)\pi }e^{-i\pi }e^{-iln2}$

donde

$e^{i(8k)\pi }$ y $e^{-i\pi }$ valen 1 $k=1$ los valores encontrados seran multiplos de $\pi$

$-4e^{(4k-1/2)\pi }e^{-iln2}$

$-4e^{((4k-1/2)\pi -iln2)}$ donde k pertenece a los numeros naturales.

Esta expresion puede tomar muchos valores, tantos como variemos "k" porquela expresion que tenemos no tiene modulo $2\pi$

ahora encontrando los valores $i^{w}$

$i^{w}=e^{lni^{w}}$ donde $lni=ln1+i\pi /2$ Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos $2k\pi$

$e^{w+i(\pi /2+2k\pi }$

$e^{iw((4k+1)/2)\pi }$ para cualquier w

finalmente calculando los valores $z^{i}$

$z^{i}=e^{ilnz}$

$e^{i(ln|z|+iargz)}$

$e^{-(argz+iln|z|}$ para cualquier z

--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.

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3.- Demuestre que si $w\in \mathbb {R}$, entonces $\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}$.

Solución.

Sea $z^{w}=r^{w}\exp \left(iw\theta \right)$

Entonces

$\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp \left(iw\theta \right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp \left(iw\theta \right)\right|$

pues

$r=\left|z\right|$

como

$\left|\exp \left(i\theta \right)\right|={\sqrt {cos^{2}\theta +sen^{2}\theta }}=1$

si tomamos el cambio $\gamma =w\theta \!$ obtenemos que

$\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp \left(iw\theta \right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp \left(iw\theta \right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp \left(i\gamma \right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}$

Pues $w\in \mathbb {R}$.

--Dali 02:23 15 nov 2009 (UTC)

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4. Exhiba $z,w\in {\mbox{C}}$ para las cuales no se cumpla ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}$.

Sean $z,w\in {\mbox{C}}$ de la forma $w=a+ib$ $z=x+iy$

como ${\big |}w{\big |}\in {\mbox{R}}$ se cumple ${\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}={\big |}{z^{{\big |}w{\big |}}}{\big |}$

desarrollamos: ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}{z^{{\big |}w{\big |}}}{\big |}$

$e^{w(log{\big |}z{\big |}+iargz)}=e^{{\big |}w{\big |}(log{\big |}z{\big |}+iargz)}$

$\Longleftrightarrow$ $\qquad w(log{\big |}z{\big |}+iargz)={\big |}w{\big |}(log{\big |}z{\big |}+iargz)$

$\Rightarrow w={\big |}w{\big |}$

Esta igualdad se cumple para $w=a+ib$ con $b=0$

por lo tanto ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}$ no se cumple para $w=a+ib$ con $b\neq 0$--Gabita 20:22 12 nov 2009 (UTC)

SECCION 1.3.4

1. Pruebe la identidad $\ {cosht=cos(it)}$.

Sabemos que

$cost={\frac {e^{it}+e^{-it}}{2}}$

$cosht={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}$

Entonces

$cos(it)={\frac {e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}={\frac {1}{2}}(e^{-t}+e^{t})={\frac {1}{2}}(e^{t}+e^{-t})=cosht$

$\therefore$

$\ {cosht=cos(it)}$

--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)

2. Pruebe que el minimo periodo de las funciones $\quad sen{z}$ y $\quad cos{z}\quad$ es $\quad 2\pi \quad$.

$sen{z}=sen{z+2k\pi }$

$sen(z+2k\pi )=sen{z}cos{2k\pi }+sen{2k\pi }cos{z}$

$\Rightarrow sen{2k\pi }=0$

y $cos{2k\pi }=1$ para $k\in Z$ con $k=0,1,2,3...$

$senz=sen(z+0)$

$sen(z+0)=sen(z+2\pi )$

Error al representar (función desconocida «\pin»): {\displaystyle sen(z + 2\pi) = sen(z + 2\pin)} con $n=2,3,4,...$

entonces el minimo periodo de $sen{z}$ es $2k\pi$.

$cos{z}=cos{z+2k\pi }$

$cos(z+2k\pi )=cos{z}cos{2k\pi }-sen{2k\pi }sen{z}$

$\Rightarrow sen{2k\pi }=0$

y $cos{2k\pi }=1$ para $k\in Z$ con $k=0,1,2,3...$

$cos(z)=cos(z+0)$

$cos(z+0)=cos(z+2\pi )$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle cos(z + 2\pi) = cos(z + 2\pin)} con $n=2,3,4,...$

entonces el minimo periodo de $cos{z}$ es $2k\pi$.

3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.

Dadas $\ z,w\in C$, se cumple la siguiente igualdad

$\ {cos(z+w)=cosz{cosw}-senz{senw}}$.

Sabemos que

$cosz={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$

$senz={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

Entonces

$cosz{cosw}-senz{senw}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac {e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac {e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}$

$={\frac {1}{4}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right]+{\frac {1}{4}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right]$

$={\frac {1}{2}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right]=cos(z+w)$

$\therefore$

$\ {cos(z+w)=cosz{cosw}-senz{senw}}$

--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)

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4.- Resuelva $\cos z=-{\frac {1}{2}}$, $\cos z=0$ y $\sin z=i$.

Sabemos que

$\cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$

Y queremos reolver

$\cos z=w$

Entonces igualando estas dos ecuaciones tenemos lo siguiente:

${\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}=w$

Haciendo un poco de algebra que a continuación se muestra, despejamos $z$, que es el valor del numero que queremos encontrar

$e^{iz}+e^{-iz}-2w=0$

Multiplicando lo anterior por $e{}^{iz}$

$e^{2iz}-2e^{iz}+1=0$

Que esta ya es facil de resolver a partir de

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Entonces tetenemos que

$e{}^{iz}={\frac {2w\pm {\sqrt {4w^{2}-4}}}{2}}=w\pm {\sqrt {w^{2}-1}}$

Y tomando el logaritmo en ambos lados

$iz=\ln \left(w\pm {\sqrt {w^{2}-1}}\right)$

$z=-i\ln \left(w\pm {\sqrt {w^{2}-1}}\right)$

$\therefore$ para $w=-{\frac {1}{2}}$, tenemos que

$z=-i\ln \left(-{\frac {1}{2}}\pm {\frac {i}{2}}{\sqrt {3}}\right)=-{\frac {2\pi }{3}}$

Y para

$w=0$

$z=-i\ln \left(\pm {\sqrt {-1}}\right)=\pi$

Ahora haciendo el mismo procedimiento para $\sin z$, tenemos que

$z=-i\ln \left(iw\pm {\sqrt {1-w^{2}}}\right)$

$\therefore$ para $w=i$, tenemos que

$z=i\ln(-1\pm {\sqrt {2}})$

--Oscar Adrian 06:05 4 dic 2009 (UTC)

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5. Demuestre la identidad $senz-senw=2sen\left({\frac {z-w}{2}}\right)cos\left({\frac {z+w}{2}}\right).$

partiendo de que puedo expresar:

$cos(z)={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$

y

$sen(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$.

entonces en terminos de las exponenciales obtengo.

$2sen\left({\frac {z-w}{2}}\right)cos\left({\frac {z+w}{2}}\right)=2\left({\frac {e^{i\left({\frac {z-w}{2}}\right)}-e^{-i\left({\frac {z-w}{2}}\right)}}{2i}}\right)\left({\frac {e^{i\left({\frac {z+w}{2}}\right)}+e^{-i\left({\frac {z+w}{2}}\right)}}{2}}\right)$.

resolviendo el producto y simplificando, obtengo:

$=2\left({\frac {e^{iz}+e^{-iw}-e^{iw}-e^{-iz}}{4i}}\right)=\left({\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\right)-\left({\frac {e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}\right)$

$=sen\left(z\right)-sen\left(w\right)$

--Josua Da Vinci 18:08 1 dic 2009 (UTC)

KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.

--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla

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9.- Describa la geometría de $\cos z$ en la región $\left\{z\epsilon \mathbb {C\mid } 0<Rez<\pi \right\}$. Sugerencia: Usar (1.8).

Para describir la geometría de esta función tomamos la siguiente igualdad

$\sin \left(z+{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos z$

Que esto nos dice que nuestra nueva grafica sera la del seno pero desfasada ${\frac {\pi }{2}}$

Asi mismo tomando como referencia la figura 1.23 de la pagina 44 del libro de texto nuestro resultado geometrico es el siguiente:

--Oscar Adrian 05:09 2 dic 2009 (UTC)

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Compleja:ej-cap1.1

Compleja:ej-cap1.2

Compleja:ej-cap1.4