Compleja:ej-cap1.3

SECCION 1.3.1

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4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x , se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.

Solución.

Basta con demostrar que

${\overline {\exp \left(iy\right)}}=\exp \left(-iy\right)$

Sea

$\exp \left(iy\right)=cosy+iseny$

Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:

$\exp \left(iy\right)=cosy+iseny$ ${\overline {\exp \left(iy\right)}}={\overline {cosy+iseny}}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp \left(-iy\right)$

${\overline {\exp \left(iy\right)}}=\exp \left(-iy\right)$

Debemos tener en cuenta que $Imz=y\!$ es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir $\!Rez=x$.

--Dali 04:12 15 nov 2009 (UTC)

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SECCION 1.3.3

1.Calcule todos los valores $(1-i)^{4-2i}$ $i^{w}$ $z^{i}$

recordando

$lnab=lna+lnb$ , $lna^{b}=blna$ y $e^{lna}=a$

$(1-i)^{4-2i}$ = $e^{ln(1-i)^{4-2i}}$

$e^{(4-2i)ln(1-i)}$

$ln(1-i)=ln{\sqrt {2}}-i\pi /4$

sustituyendo $ln(1-i)$

$e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi /4+2k\pi )}$ Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos $2k\pi$

$e^{2ln2+2(-\pi /4+2k\pi )+i4((-\pi /4+2k\pi )-ln2)}$

$e^{ln4+((4k-1)/2)\pi +i(8k-1)\pi -iln2}$

$e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi }e^{i(8k)\pi }e^{-i\pi }e^{-iln2}$

donde

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i(8k)\pi} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{-i\pi} valen 1 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): k=1 los valores encontrados seran multiplos de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \pi

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): -4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): -4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)} donde k pertenece a los numeros naturales.

ahora encontrando los valores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): i^w

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): i^w = e ^{lni^{w}} donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): lni=ln1+i\pi/2 Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 2k\pi

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{iw((4k+1)/2)\pi} para cualquier w

finalmente calculando los valores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z^i

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z^i= e^{ilnz}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i(ln|z|+iargz)}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{-(argz+iln|z|} para cualquier z

--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.

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3.- Demuestre que si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w\in\mathbb{R} , entonces Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w} .

Solución.

Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|

pues

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r=\left|z\right|

como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1

si tomamos el cambio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \gamma=w\theta\! obtenemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}

Pues Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w\in\mathbb{R} .

--Dali 02:23 15 nov 2009 (UTC)

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4. Exhiba Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z, w \in \mbox{C} para las cuales no se cumpla ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}$.

Sean $z,w\in {\mbox{C}}$ de la forma $w=a+ib$ $z=x+iy$

como ${\big |}w{\big |}\in {\mbox{R}}$ se cumple ${\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}={\big |}{z^{{\big |}w{\big |}}}{\big |}$

desarrollamos: ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}{z^{{\big |}w{\big |}}}{\big |}$

$e^{w(log{\big |}z{\big |}+iargz)}=e^{{\big |}w{\big |}(log{\big |}z{\big |}+iargz)}$

$\Longleftrightarrow$ $\qquad w(log{\big |}z{\big |}+iargz)={\big |}w{\big |}(log{\big |}z{\big |}+iargz)$

$\Rightarrow w={\big |}w{\big |}$

Esta igualdad se cumple para $w=a+ib$ con $b=0$

por lo tanto ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}$ no se cumple para $w=a+ib$ con $b\neq 0$--Gabita 20:22 12 nov 2009 (UTC)

SECCION 1.3.4

1. Pruebe la identidad $\ {cosht=cos(it)}$.

Sabemos que

$cost={\frac {e^{it}+e^{-it}}{2}}$

$cosht={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}$

Entonces

$cos(it)={\frac {e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}={\frac {1}{2}}(e^{-t}+e^{t})={\frac {1}{2}}(e^{t}+e^{-t})=cosht$

$\therefore$

$\ {cosht=cos(it)}$

--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)

3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.

Dadas $\ z,w\in C$, se cumple la siguiente igualdad

$\ {cos(z+w)=cosz{cosw}-senz{senw}}$.

Sabemos que

$cosz={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$

$senz={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

Entonces

$cosz{cosw}-senz{senw}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac {e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac {e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}$

$={\frac {1}{4}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right]+{\frac {1}{4}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right]$

$={\frac {1}{2}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right]=cos(z+w)$

$\therefore$

$\ {cos(z+w)=cosz{cosw}-senz{senw}}$

--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)

KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.

--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla