Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.3»

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[[categoría:Compleja]]
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=='''SECCION 1.3.3'''==
[[categoría:Cursos]]
 
  
'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,\frac{-\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>.  ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?'''
 
  
  
La imagen de la recta horizintal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math>
 
  
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'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math>  <math> i^w</math>  <math>z^i</math>
  
Bajo esta función es la semilínea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math> ,
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recordando
  
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<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math>
  
esto es, la que pasa por el punto
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<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math>
  
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<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math>
  
 +
<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math>
  
<math>e^{i\frac{\pi}{2}}=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math>  
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sustituyendo <math>ln(1-i)</math>
  
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<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math>    Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math>
  
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<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math>
  
De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math>
+
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math>
  
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<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math>
  
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donde
  
<math>e^{-i\frac{\pi}{2}}=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i</math>  
+
<math>e^{i(8k)\pi}</math>  y  <math>e^{-i\pi}</math>  valen 1 <math>k=1</math>  los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math>
  
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<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math>
  
Tenemos también que <math>2\in Re</math>
+
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.
  
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ahora encontrando los valores  <math> i^w</math>
  
entonces la linea vertical <math>\ Rez=2</math>
+
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math>    Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math>
  
 +
<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math>
  
se transforma en el círculo de radio
+
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math>  para cualquier '''w'''
  
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finalmente calculando los valores <math>z^i</math>
  
<math>e^{2}\approx 7.4=r</math>
+
<math>z^i= e^{ilnz}</math>
  
 +
<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math>
  
De igual forma para <math>\ Rez=0</math>
+
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''
  
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--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.
  
que se transforma en el circulo de radio
 
  
  
<math>\ e^{0}=1=r</math>
 
  
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'''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.'''
  
  
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 17:37 10 nov 2009 (UTC)
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'''Solución.'''
 
 
 
 
'''2. Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>,  en la forma <math>x+iy</math>.'''
 
 
 
 
 
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>
 
 
 
se puede expresar como:
 
 
 
<math>e^{4}  e^{i\frac{\pi}{6}}</math>
 
 
 
y <math>e^{i\frac{\pi}{6}}</math>,  como:  <math>cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math>,
 
 
 
entonces, <math>e^{4}  e^{i\frac{\pi}{6}}=e^{4}\left (cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right )</math>
 
 
 
<math>e^{4}  e^{i\frac{\pi}{6}}=e^{4}cos{\frac{\pi}{6}}+ie^{4}sen{\frac{\pi}{6}}</math>asi de esta forma,
 
 
 
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.49</math>
 
 
 
 
 
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:22 27 oct 2009 (UTC)
 
 
 
 
 
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'''4.- Demuestre que bajo la acción de la función exponencial, dos lineas horizontales, simétricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.'''
 
  
  
'''Solución'''
+
Sea  <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math>
  
  
Basta con demostrar que
+
Entonces
  
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math> </center>
 
  
Sea
+
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|
 +
</math></center> 
  
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math> </center>
+
pues
  
 +
<center><math> r=\left|z\right|
 +
</math></center>
  
Si tomamos el conjugado de la ultima expresión tenemos que:
 
  
  
<center> <math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math> </center>
 
  
  
<center> <math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)
+
como
</math> </center>
 
  
 +
<center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1
 +
</math></center>
  
<center> <math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)
 
</math> </center>
 
  
  
 +
si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math>  obtenemos que
  
Debemos tener en cuenta que Im z = y es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir Re z = x
 
  
--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:03 15 nov 2009 (UTC)
+
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}
 +
</math></center>
  
  
  
 +
Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>.
  
  
Línea 116: Línea 103:
  
  
 +
--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC)
  
  
  
 
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'''5. ¿Qué puntos del plano complejo cumplen <math>\qquad e^{iw}\, = e^{i \bar{w}}\,\qquad
 
</math>?
 
  
  
  
Sea  <math> w \in \mbox{C}  </math> de la forma <math>\qquad  w = x + iy</math>
 
con <math> x,y \in \mbox{R}  </math>
 
  
Tenemos  <math>\qquad e^{iw}\, = e^{i \bar{w}}\,\qquad
 
</math> por lo tanto <math>iw = i\bar{w}</math>
 
 
<math>(-i)iw = (-i)i\bar{w}</math>
 
 
<math>w = \bar{w}</math>  es decir
 
 
<math>\qquad  x + iy = x - iy</math>
 
 
<math>\qquad  iy = - iy</math>
 
 
<math>\qquad  2iy = 0</math>  entonces
 
 
<math>\qquad  y = 0</math>
 
 
Por lo tanto :
 
 
<math>w = \bar{w} = x</math>
 
 
  <math>\qquad e^{iw}\, = e^{i \bar{w}}\,\qquad
 
</math> es valido para todos los puntos del eje real del plano complejo.
 
 
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 19:06 12 nov 2009 (UTC)
 
 
'''SECCION 1.3.3'''
 
 
'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math>  <math> i^w</math>  <math>z^i</math>
 
 
recordando
 
 
<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math>
 
 
<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math>
 
 
<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math>
 
 
<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math>
 
 
sustituyendo <math>ln(1-i)</math>
 
 
<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math>    Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math>
 
 
<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math>
 
 
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math>
 
 
<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math>
 
 
donde
 
 
<math>e^{i(8k)\pi}</math>  y  <math>e^{-i\pi}</math>  valen 1 <math>k=1</math>  los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math>
 
 
<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math>
 
 
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.
 
 
ahora encontrando los valores  <math> i^w</math>
 
 
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math>    Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math>
 
 
<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math>
 
 
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math>  para cualquier '''w'''
 
 
finalmente calculando los valores <math>z^i</math>
 
 
<math>z^i= e^{ilnz}</math>
 
 
<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math>
 
 
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''
 
 
 
 
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.
 
  
  

Revisión del 20:23 14 nov 2009

SECCION 1.3.3

1.Calcule todos los valores \((1-i)^{4-2i}\) \( i^w\) \(z^i\)

recordando

\(lnab=lna+lnb\) , \(lna^b=blna\) y \(e^{lna}=a\)

\((1-i)^{4-2i}\) = \(e^{ln(1-i)^{4-2i}}\)

\( e^{(4-2i)ln(1-i)}\)

\(ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4\)

sustituyendo \(ln(1-i)\)

\(e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}\) Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos \(2k\pi\)

\(e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}\)

\(e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}\)

\(e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}\)

donde

\(e^{i(8k)\pi}\) y \(e^{-i\pi}\) valen 1 \(k=1\) los valores encontrados seran multiplos de \(\pi\)

\(-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}\)

\(-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}\) donde k pertenece a los numeros naturales.

ahora encontrando los valores \( i^w\)

\( i^w = e ^{lni^{w}}\) donde \(lni=ln1+i\pi/2\) Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos \(2k\pi\)

\( e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}\)

\(e^{iw((4k+1)/2)\pi}\) para cualquier w

finalmente calculando los valores \(z^i\)

\(z^i= e^{ilnz}\)

\(e^{i(ln|z|+iargz)}\)

\(e^{-(argz+iln|z|}\) para cualquier z

--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.





3.- Demuestre que si \(w\in\mathbb{R}\), entonces \(\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}\).


Solución.


Sea \(z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\)


Entonces


\(\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right| \)

pues

\( r=\left|z\right| \)



como

\( \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1 \)


si tomamos el cambio \(\gamma=w\theta\!\) obtenemos que


\(\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w} \)


Pues \(w\in\mathbb{R}\).



--Dali 02:23 15 nov 2009 (UTC)






4. Exhiba \( z, w \in \mbox{C} \) para las cuales no se cumpla \(\big | z^w\big | = \big | z\big | ^{\big | w\big |} \).


Sean \(z, w \in \mbox{C} \) de la forma \(w = a + ib \) \(z = x + iy\)

como \(\big |w\big | \in \mbox{R}\) se cumple \(\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |\)

desarrollamos\[\big | z^w\big | = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |\]

\(e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}\)

\(\Longleftrightarrow \) \(\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)\)

\( \Rightarrow w = \big |w\big |\)

Esta igualdad se cumple para \( w = a + ib \) con \( b = 0 \)

por lo tanto \(\big | z^w\big | = \big | z\big | ^{\big | w\big |} \) no se cumple para \( w = a + ib \) con \(b \ne 0\)--Gabita 20:22 12 nov 2009 (UTC)



SECCION 1.3.4


1. Pruebe la identidad \(\ {cosh t= cos(it)}\).


Sabemos que


\(cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}\)


\(cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}\)


Entonces


\(cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t\)


\(\therefore \)


\(\ {cosh t= cos(it)}\)



--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)



3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.


Dadas \(\ z,w \in C\), se cumple la siguiente igualdad


\(\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}\).


Sabemos que


\(cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\)


\(sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)


Entonces


\(cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}\)


\(=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]\)


\(=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)\)


\(\therefore \)


\(\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}\)



--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)




SECCION 1.4.1

3. Sea \(f\) la funcion de .... Calcule su matriz jacobiana



KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.

--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla