Compleja:ej-cap1.3

1. Sea $A=\left\{z\in C\mid 0<Rez<2,{\frac {-\pi }{2}}<Imz<{\frac {\pi }{2}}\right\}$. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?

La imagen de la recta horizintal $Imz={\frac {\pi }{2}}$

Bajo esta función es la semilínea que surge del origen con argumento ${\frac {\pi }{2}}$ ,

esto es, la que pasa por el punto

$e^{i{\frac {\pi }{2}}}=cos{\frac {\pi }{2}}+isen{\frac {\pi }{2}}=i$

De igual forma para $Imz=-{\frac {\pi }{2}}$

$e^{-i{\frac {\pi }{2}}}=cos{\frac {\pi }{2}}-isen{\frac {\pi }{2}}=-i$

Tenemos también que $2\in Re$

entonces la linea vertical $\ Rez=2$

se transforma en el círculo de radio

$e^{2}\approx 7.4=r$

De igual forma para $\ Rez=0$

que se transforma en el circulo de radio

$\ e^{0}=1=r$

--Ralf Gutierrez 17:37 10 nov 2009 (UTC)

2. Exprese $e^{\left(4+i{\frac {\pi }{6}}\right)}$, en la forma $x+iy$.

$e^{\left(4+i{\frac {\pi }{6}}\right)}$

se puede expresar como:

$e^{4}e^{i{\frac {\pi }{6}}}$

y $e^{i{\frac {\pi }{6}}}$, como: $cos{\frac {\pi }{6}}+isen{\frac {\pi }{6}}$,

entonces, $e^{4}e^{i{\frac {\pi }{6}}}=e^{4}\left(cos{\frac {\pi }{6}}+isen{\frac {\pi }{6}}\right)$

$e^{4}e^{i{\frac {\pi }{6}}}=e^{4}cos{\frac {\pi }{6}}+ie^{4}sen{\frac {\pi }{6}}$asi de esta forma,

$e^{\left(4+i{\frac {\pi }{6}}\right)}=54.59+i0.49$

--Josua Da Vinci 18:22 27 oct 2009 (UTC)

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4.- Demuestre que bajo la acción de la función exponencial, dos lineas horizontales, simétricas con respecto al eje $x$, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.

Solución

Basta con demostrar que

${\overline {\exp \left(iy\right)}}=\exp \left(-iy\right)$

Sea

$\exp \left(iy\right)=cosy+iseny$

Si tomamos el conjugado de la ultima expresión tenemos que:

$\exp \left(iy\right)=cosy+iseny$

${\overline {\exp \left(iy\right)}}={\overline {cosy+iseny}}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp \left(-iy\right)$

${\overline {\exp \left(iy\right)}}=\exp \left(-iy\right)$

Debemos tener en cuenta que Im z = y es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir Re z = x

--Dali 02:03 15 nov 2009 (UTC)

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5. ¿Qué puntos del plano complejo cumplen $\qquad e^{iw}\,=e^{i{\bar {w}}}\,\qquad$?

Sea $w\in {\mbox{C}}$ de la forma $\qquad w=x+iy$

con $x,y\in {\mbox{R}}$

Tenemos $\qquad e^{iw}\,=e^{i{\bar {w}}}\,\qquad$ por lo tanto $iw=i{\bar {w}}$

$(-i)iw=(-i)i{\bar {w}}$

$w={\bar {w}}$   es decir

$\qquad x+iy=x-iy$

$\qquad iy=-iy$

$\qquad 2iy=0$ entonces

$\qquad y=0$

Por lo tanto :

$w={\bar {w}}=x$ 

 $\qquad e^{iw}\,=e^{i{\bar {w}}}\,\qquad$ es valido para todos los puntos del eje real del plano complejo.

--Gabita 19:06 12 nov 2009 (UTC)

SECCION 1.3.3

1.Calcule todos los valores $(1-i)^{4-2i}$ $i^{w}$ $z^{i}$

recordando

$lnab=lna+lnb$ , $lna^{b}=blna$ y $e^{lna}=a$

$(1-i)^{4-2i}$ = $e^{ln(1-i)^{4-2i}}$

$e^{(4-2i)ln(1-i)}$

$ln(1-i)=ln{\sqrt {2}}-i\pi /4$

sustituyendo $ln(1-i)$

$e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi /4+2k\pi )}$ Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos $2k\pi$

$e^{2ln2+2(-\pi /4+2k\pi )+i4((-\pi /4+2k\pi )-ln2)}$

$e^{ln4+((4k-1)/2)\pi +i(8k-1)\pi -iln2}$

$e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi }e^{i(8k)\pi }e^{-i\pi }e^{-iln2}$

donde

$e^{i(8k)\pi }$ y $e^{-i\pi }$ valen 1 $k=1$ los valores encontrados seran multiplos de $\pi$

$-4e^{(4k-1/2)\pi }e^{-iln2}$

$-4e^{((4k-1/2)\pi -iln2)}$ donde k pertenece a los numeros naturales.

ahora encontrando los valores $i^{w}$

$i^{w}=e^{lni^{w}}$ donde $lni=ln1+i\pi /2$ Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos $2k\pi$

$e^{w+i(\pi /2+2k\pi }$

$e^{iw((4k+1)/2)\pi }$ para cualquier w

finalmente calculando los valores $z^{i}$

$z^{i}=e^{ilnz}$

$e^{i(ln|z|+iargz)}$

$e^{-(argz+iln|z|}$ para cualquier z

--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.

4. Exhiba $z,w\in {\mbox{C}}$ para las cuales no se cumpla ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}$.

Sean $z,w\in {\mbox{C}}$ de la forma $w=a+ib$ $z=x+iy$

como ${\big |}w{\big |}\in {\mbox{R}}$ se cumple ${\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}={\big |}{z^{{\big |}w{\big |}}}{\big |}$

desarrollamos: ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}{z^{{\big |}w{\big |}}}{\big |}$

$e^{w(log{\big |}z{\big |}+iargz)}=e^{{\big |}w{\big |}(log{\big |}z{\big |}+iargz)}$

$\Longleftrightarrow$ $\qquad w(log{\big |}z{\big |}+iargz)={\big |}w{\big |}(log{\big |}z{\big |}+iargz)$

$\Rightarrow w={\big |}w{\big |}$

Esta igualdad se cumple para $w=a+ib$ con $b=0$

por lo tanto ${\big |}z^{w}{\big |}={\big |}z{\big |}^{{\big |}w{\big |}}$ no se cumple para $w=a+ib$ con $b\neq 0$--Gabita 20:22 12 nov 2009 (UTC)

SECCION 1.3.4

1. Pruebe la identidad $\ {cosht=cos(it)}$.

Sabemos que

$cost={\frac {e^{it}+e^{-it}}{2}}$

$cosht={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}$

Entonces

$cos(it)={\frac {e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}={\frac {1}{2}}(e^{-t}+e^{t})={\frac {1}{2}}(e^{t}+e^{-t})=cosht$

$\therefore$

$\ {cosht=cos(it)}$

--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)

3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.

Dadas $\ z,w\in C$, se cumple la siguiente igualdad

$\ {cos(z+w)=cosz{cosw}-senz{senw}}$.

Sabemos que

$cosz={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$

$senz={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

Entonces

$cosz{cosw}-senz{senw}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac {e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac {e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}$

$={\frac {1}{4}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right]+{\frac {1}{4}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right]$

$={\frac {1}{2}}\left[e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right]=cos(z+w)$

$\therefore$

$\ {cos(z+w)=cosz{cosw}-senz{senw}}$

--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)

SECCION 1.4.1

3. Sea $f$ la funcion de .... Calcule su matriz jacobiana

KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.

--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla