Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.3»

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'''5. Demuestre la identidad  <math>senz-senw=2sen\left (\frac{z-w}{2}\right)cos\left (\frac{z+w}{2}\right).</math>'''
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--uchija 18:08 1 dic 2009 (UTC)
  
 
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán
 
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán

Revisión del 12:08 1 dic 2009

SECCION 1.3.1

1. Sea \(A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}\). ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.


La imagen de la recta horizontal \(Imz=\frac{\pi }{2}\) bajo esta función


es la semilinea que surge del origen con argumento \(\frac{\pi }{2}\),


entonces lo que pasa por el punto


\(e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i\)


De igual forma para \(Imz=-\frac{\pi }{2}\)


\(e^\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i\)


Por otra parte tenemos \(2\in Re\), entonces la linea vertical \(\ Rez=2\)


se transforma en el circulo de radio


\(e^2\thickapprox 7.4\)


De igual forma para \(\ Rez=0\), se transforma en el circulo de radio


\(\ e^0=1\)




--Ralf Gutierrez 03:11 22 nov 2009 (UTC)




2.- Exprese \(e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)\), en la forma \(x+iy\).

por propiedades de la exponencial sabemos que\[e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)\]


y que \(e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\)


entonces la exprecion completa seria\[e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)\]

\(=e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}\)


\(e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498\).

--Josua Da Vinci 18:19 17 nov 2009 (UTC)




4.-Demuestre que bajo la accion de la función exponencial, dos líneas horizontales, símetricas con respecto al eje \(x\), se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.


Solución.

Basta con demostrar que

\(\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)\)

Sea

\(\exp\left(iy\right)=cosy+iseny \)


Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:

\(\exp\left(iy\right)=cosy+iseny\)
\(\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right) \)


\(\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)\)


Debemos tener en cuenta que \(Im z = y \!\) es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir \(\! Re z = x\).


--Dali 04:12 15 nov 2009 (UTC)



SECCION 1.3.2

SECCION 1.3.3

1.Calcule todos los valores \((1-i)^{4-2i}\) \( i^w\) \(z^i\)

recordando

\(lnab=lna+lnb\) , \(lna^b=blna\) y \(e^{lna}=a\)

\((1-i)^{4-2i}\) = \(e^{ln(1-i)^{4-2i}}\)

\( e^{(4-2i)ln(1-i)}\)

\(ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4\)

sustituyendo \(ln(1-i)\)

\(e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}\) Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos \(2k\pi\)

\(e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}\)

\(e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}\)

\(e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}\)

donde

\(e^{i(8k)\pi}\) y \(e^{-i\pi}\) valen 1 \(k=1\) los valores encontrados seran multiplos de \(\pi\)

\(-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}\)

\(-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}\) donde k pertenece a los numeros naturales.

ahora encontrando los valores \( i^w\)

\( i^w = e ^{lni^{w}}\) donde \(lni=ln1+i\pi/2\) Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos \(2k\pi\)

\( e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}\)

\(e^{iw((4k+1)/2)\pi}\) para cualquier w

finalmente calculando los valores \(z^i\)

\(z^i= e^{ilnz}\)

\(e^{i(ln|z|+iargz)}\)

\(e^{-(argz+iln|z|}\) para cualquier z

--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.





3.- Demuestre que si \(w\in\mathbb{R}\), entonces \(\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}\).


Solución.


Sea \(z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\)


Entonces


\(\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right| \)

pues

\( r=\left|z\right| \)



como

\( \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1 \)


si tomamos el cambio \(\gamma=w\theta\!\) obtenemos que


\(\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w} \)


Pues \(w\in\mathbb{R}\).



--Dali 02:23 15 nov 2009 (UTC)






4. Exhiba \( z, w \in \mbox{C} \) para las cuales no se cumpla \(\big | z^w\big | = \big | z\big | ^{\big | w\big |} \).


Sean \(z, w \in \mbox{C} \) de la forma \(w = a + ib \) \(z = x + iy\)

como \(\big |w\big | \in \mbox{R}\) se cumple \(\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |\)

desarrollamos\[\big | z^w\big | = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |\]

\(e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}\)

\(\Longleftrightarrow \) \(\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)\)

\( \Rightarrow w = \big |w\big |\)

Esta igualdad se cumple para \( w = a + ib \) con \( b = 0 \)

por lo tanto \(\big | z^w\big | = \big | z\big | ^{\big | w\big |} \) no se cumple para \( w = a + ib \) con \(b \ne 0\)--Gabita 20:22 12 nov 2009 (UTC)

SECCION 1.3.4

1. Pruebe la identidad \(\ {cosh t= cos(it)}\).


Sabemos que


\(cos t={ \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}}\)


\(cosh t={ \frac{e^{t}+e^{-t}}{2}}\)


Entonces


\(cos (it)={ \frac{e^{i(it)}+e^{-i(it)}}{2}}=\frac{1}{2}(e^{-t}+e^{t})=\frac{1}{2}(e^{t}+e^{-t})=cosh t\)


\(\therefore \)


\(\ {cosh t= cos(it)}\)



--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)

2. Pruebeque el minimo periodo de las funciones \(\quad sen{z} \quad cos{z} \quad \) es \(\quad 2\pi \quad \)


3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.


Dadas \(\ z,w \in C\), se cumple la siguiente igualdad


\(\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}\).


Sabemos que


\(cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\)


\(sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\)


Entonces


\(cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}\)


\(=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]\)


\(=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)\)


\(\therefore \)

\(\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}\)

--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)



5. Demuestre la identidad \(senz-senw=2sen\left (\frac{z-w}{2}\right)cos\left (\frac{z+w}{2}\right).\)


--uchija 18:08 1 dic 2009 (UTC)

KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.

--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla


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