Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.3»

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[[categoría:Compleja]]
=='''SECCION 1.3.3'''==
[[categoría:Cursos]]


'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,\frac{-\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>.  ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?'''




La imagen de la recta horizintal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math>


'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math>  <math> i^w</math>  <math>z^i</math>


Bajo esta función es la semilínea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math> ,
recordando


<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math>


esto es, la que pasa por el punto
<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math>


<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math>


<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math>


<math>e^{i\frac{\pi}{2}}=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math>  
sustituyendo <math>ln(1-i)</math>


<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math>    Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math>


<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math>


De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math>
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math>


<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math>


donde


<math>e^{-i\frac{\pi}{2}}=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i</math>  
<math>e^{i(8k)\pi}</math>  y  <math>e^{-i\pi}</math>  valen 1 <math>k=1</math>  los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math>


<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math>


Tenemos también que <math>2\in Re</math>
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.


ahora encontrando los valores  <math> i^w</math>


entonces la linea vertical <math>\ Rez=2</math>
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math>    Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math>


<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math>


se transforma en el círculo de radio
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math>  para cualquier '''w'''


finalmente calculando los valores <math>z^i</math>


<math>e^{2}\approx 7.4=r</math>
<math>z^i= e^{ilnz}</math>


<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math>


De igual forma para <math>\ Rez=0</math>
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''


--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.


que se transforma en el circulo de radio




<math>\ e^{0}=1=r</math>


----




'''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.'''




--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 17:37 10 nov 2009 (UTC)
'''Solución.'''
 
 
'''2. Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>,  en la forma <math>x+iy</math>.'''
 
 
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>
 
se puede expresar como:
 
<math>e^{4}  e^{i\frac{\pi}{6}}</math>
 
y <math>e^{i\frac{\pi}{6}}</math>,  como:  <math>cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math>,
 
entonces, <math>e^{4}  e^{i\frac{\pi}{6}}=e^{4}\left (cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right )</math>
 
<math>e^{4}  e^{i\frac{\pi}{6}}=e^{4}cos{\frac{\pi}{6}}+ie^{4}sen{\frac{\pi}{6}}</math>asi de esta forma,
 
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.49</math>
 
 
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:22 27 oct 2009 (UTC)
 
 
----
'''4.- Demuestre que bajo la acción de la función exponencial, dos lineas horizontales, simétricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.'''




'''Solución'''
Sea  <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math>




Basta con demostrar que
Entonces


<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math> </center>


Sea
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|
</math></center> 


<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math> </center>
pues


<center><math> r=\left|z\right|
</math></center>


Si tomamos el conjugado de la ultima expresión tenemos que:




<center> <math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math> </center>




<center> <math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)
como
</math> </center>


<center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1
</math></center>


<center> <math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)
</math> </center>




si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math>  obtenemos que


Debemos tener en cuenta que Im z = y es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir Re z = x


--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:03 15 nov 2009 (UTC)
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w}
</math></center>






Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>.




Línea 116: Línea 103:




--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC)






----
----
'''5. ¿Qué puntos del plano complejo cumplen <math>\qquad e^{iw}\, = e^{i \bar{w}}\,\qquad
</math>?






Sea  <math> w \in \mbox{C}  </math> de la forma <math>\qquad  w = x + iy</math>
con <math> x,y \in \mbox{R}  </math>


Tenemos  <math>\qquad e^{iw}\, = e^{i \bar{w}}\,\qquad
</math> por lo tanto <math>iw = i\bar{w}</math>
<math>(-i)iw = (-i)i\bar{w}</math>
<math>w = \bar{w}</math>  es decir
<math>\qquad  x + iy = x - iy</math>
<math>\qquad  iy = - iy</math>
<math>\qquad  2iy = 0</math>  entonces
<math>\qquad  y = 0</math>
Por lo tanto :
<math>w = \bar{w} = x</math>
  <math>\qquad e^{iw}\, = e^{i \bar{w}}\,\qquad
</math> es valido para todos los puntos del eje real del plano complejo.
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 19:06 12 nov 2009 (UTC)
'''SECCION 1.3.3'''
'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math>  <math> i^w</math>  <math>z^i</math>
recordando
<math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math>
<math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math>
<math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math>
<math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math>
sustituyendo <math>ln(1-i)</math>
<math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math>    Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math>
<math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math>
<math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math>
<math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math>
donde
<math>e^{i(8k)\pi}</math>  y  <math>e^{-i\pi}</math>  valen 1 <math>k=1</math>  los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math>
<math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math>
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.
ahora encontrando los valores  <math> i^w</math>
<math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math>    Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math>
<math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math>
<math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math>  para cualquier '''w'''
finalmente calculando los valores <math>z^i</math>
<math>z^i= e^{ilnz}</math>
<math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math>
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.





Revisión del 21:23 14 nov 2009

SECCION 1.3.3

1.Calcule todos los valores

recordando

, y

=

sustituyendo

Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos

donde

y valen 1 los valores encontrados seran multiplos de

donde k pertenece a los numeros naturales.

ahora encontrando los valores

donde Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos

para cualquier w

finalmente calculando los valores

para cualquier z

--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.





3.- Demuestre que si , entonces .


Solución.


Sea


Entonces


pues



como


si tomamos el cambio obtenemos que



Pues .



--Dali 02:23 15 nov 2009 (UTC)






4. Exhiba para las cuales no se cumpla .


Sean de la forma

como se cumple

desarrollamos:

Esta igualdad se cumple para con

por lo tanto no se cumple para con --Gabita 20:22 12 nov 2009 (UTC)



SECCION 1.3.4


1. Pruebe la identidad .


Sabemos que




Entonces






--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)



3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.


Dadas , se cumple la siguiente igualdad


.


Sabemos que




Entonces








--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)




SECCION 1.4.1

3. Sea la funcion de .... Calcule su matriz jacobiana



KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.

--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla