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| [[categoría:Compleja]]
| | =='''SECCION 1.3.3'''== |
| [[categoría:Cursos]]
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| '''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,\frac{-\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?'''
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| La imagen de la recta horizintal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math>
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| | '''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math> |
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| Bajo esta función es la semilínea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math> ,
| | recordando |
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| | <math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math> |
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| esto es, la que pasa por el punto
| | <math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math> |
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| | <math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math> |
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| | <math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math> |
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| <math>e^{i\frac{\pi}{2}}=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math> | | sustituyendo <math>ln(1-i)</math> |
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| | <math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math> |
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| | <math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math> |
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| De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math>
| | <math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math> |
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| | <math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math> |
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| | donde |
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| <math>e^{-i\frac{\pi}{2}}=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i</math> | | <math>e^{i(8k)\pi}</math> y <math>e^{-i\pi}</math> valen 1 <math>k=1</math> los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math> |
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| | <math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math> |
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| Tenemos también que <math>2\in Re</math>
| | <math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales. |
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| | ahora encontrando los valores <math> i^w</math> |
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| entonces la linea vertical <math>\ Rez=2</math>
| | <math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math> |
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| | <math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math> |
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| se transforma en el círculo de radio
| | <math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math> para cualquier '''w''' |
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| | finalmente calculando los valores <math>z^i</math> |
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| <math>e^{2}\approx 7.4=r</math> | | <math>z^i= e^{ilnz}</math> |
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| | <math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math> |
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| De igual forma para <math>\ Rez=0</math>
| | <math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z''' |
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| | --[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla. |
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| que se transforma en el circulo de radio
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| <math>\ e^{0}=1=r</math>
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| | '''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.''' |
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| --[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 17:37 10 nov 2009 (UTC)
| | '''Solución.''' |
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| '''2. Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>, en la forma <math>x+iy</math>.''' | |
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| <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>
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| se puede expresar como:
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| <math>e^{4} e^{i\frac{\pi}{6}}</math>
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| y <math>e^{i\frac{\pi}{6}}</math>, como: <math>cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math>,
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| entonces, <math>e^{4} e^{i\frac{\pi}{6}}=e^{4}\left (cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right )</math>
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| <math>e^{4} e^{i\frac{\pi}{6}}=e^{4}cos{\frac{\pi}{6}}+ie^{4}sen{\frac{\pi}{6}}</math>asi de esta forma,
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| <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.49</math>
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| --[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:22 27 oct 2009 (UTC)
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| '''4.- Demuestre que bajo la acción de la función exponencial, dos lineas horizontales, simétricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.'''
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| '''Solución'''
| | Sea <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math> |
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| Basta con demostrar que
| | Entonces |
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| <center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math> </center>
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| Sea
| | <center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right| |
| | </math></center> |
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| <center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math> </center>
| | pues |
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| | <center><math> r=\left|z\right| |
| | </math></center> |
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| Si tomamos el conjugado de la ultima expresión tenemos que:
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| <center> <math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math> </center>
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| <center> <math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)
| | como |
| </math> </center>
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| | <center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1 |
| | </math></center> |
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| <center> <math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)
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| </math> </center>
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| | si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math> obtenemos que |
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| Debemos tener en cuenta que Im z = y es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir Re z = x
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| --[[Usuario:Dali|Dali]] 02:03 15 nov 2009 (UTC)
| | <center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w} |
| | </math></center> |
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| | Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>. |
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| | --[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC) |
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| '''5. ¿Qué puntos del plano complejo cumplen <math>\qquad e^{iw}\, = e^{i \bar{w}}\,\qquad
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| </math>?
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| Sea <math> w \in \mbox{C} </math> de la forma <math>\qquad w = x + iy</math>
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| con <math> x,y \in \mbox{R} </math>
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| Tenemos <math>\qquad e^{iw}\, = e^{i \bar{w}}\,\qquad
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| </math> por lo tanto <math>iw = i\bar{w}</math>
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| <math>(-i)iw = (-i)i\bar{w}</math>
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| <math>w = \bar{w}</math> es decir
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| <math>\qquad x + iy = x - iy</math>
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| <math>\qquad iy = - iy</math>
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| <math>\qquad 2iy = 0</math> entonces
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| <math>\qquad y = 0</math>
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| Por lo tanto :
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| <math>w = \bar{w} = x</math>
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| <math>\qquad e^{iw}\, = e^{i \bar{w}}\,\qquad
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| </math> es valido para todos los puntos del eje real del plano complejo.
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| --[[Usuario:Gabita|Gabita]] 19:06 12 nov 2009 (UTC)
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| '''SECCION 1.3.3'''
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| '''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math>
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| recordando
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| <math>lnab=lna+lnb</math> , <math>lna^b=blna</math> y <math>e^{lna}=a</math>
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| <math>(1-i)^{4-2i}</math> = <math>e^{ln(1-i)^{4-2i}}</math>
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| <math> e^{(4-2i)ln(1-i)}</math>
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| <math>ln(1-i)= ln\sqrt{2} -i\pi/4</math>
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| sustituyendo <math>ln(1-i)</math>
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| <math>e^{(4-2i)(1/2ln2+i(-\pi/4+2k\pi)}</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math>
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| <math>e^{2ln2+2(-\pi/4+2k\pi)+ i4((-\pi/4+2k\pi)-ln2)}</math>
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| <math>e^{ln4+((4k-1)/2)\pi+ i(8k-1)\pi-iln2}</math>
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| <math>e^{ln4}e^{(4k-1/2)\pi}e^{i(8k)\pi}e^{-i\pi}e^{-iln2}</math>
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| donde
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| <math>e^{i(8k)\pi}</math> y <math>e^{-i\pi}</math> valen 1 <math>k=1</math> los valores encontrados seran multiplos de <math>\pi</math>
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| <math>-4 e^{(4k-1/2)\pi}e^{-iln2}</math>
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| <math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales.
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| ahora encontrando los valores <math> i^w</math>
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| <math> i^w = e ^{lni^{w}}</math> donde <math>lni=ln1+i\pi/2</math> Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos <math>2k\pi</math>
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| <math> e ^{w+i(\pi/2+2k\pi}</math>
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| <math>e^{iw((4k+1)/2)\pi}</math> para cualquier '''w'''
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| finalmente calculando los valores <math>z^i</math>
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| <math>z^i= e^{ilnz}</math>
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| <math>e^{i(ln|z|+iargz)}</math>
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| <math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z'''
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| --[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.
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SECCION 1.3.3
1.Calcule todos los valores
recordando
, y
=
sustituyendo
Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos
donde
y valen 1 los valores encontrados seran multiplos de
donde k pertenece a los numeros naturales.
ahora encontrando los valores
donde Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos
para cualquier w
finalmente calculando los valores
para cualquier z
--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.
3.- Demuestre que si , entonces .
Solución.
Sea
Entonces
pues
como
si tomamos el cambio obtenemos que
Pues .
--Dali 02:23 15 nov 2009 (UTC)
4. Exhiba para las cuales no se cumpla .
Sean de la forma
como se cumple
desarrollamos:
Esta igualdad se cumple para con
por lo tanto no se cumple para con --Gabita 20:22 12 nov 2009 (UTC)
SECCION 1.3.4
1. Pruebe la identidad .
Sabemos que
Entonces
--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)
3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.
Dadas , se cumple la siguiente igualdad
.
Sabemos que
Entonces
--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)
SECCION 1.4.1
3. Sea la funcion de .... Calcule su matriz jacobiana
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán
por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.
--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla