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== '''SECCION 1.3.1''' ==


'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.'''  
'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.'''  

Revisión del 18:45 12 may 2015

1. Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \} . ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.

La imagen de la recta horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Imz=\frac{\pi }{2} bajo esta función

es la semilinea que surge del origen con argumento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\pi }{2} ,

entonces lo que pasa por el punto


Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i

De igual forma para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Imz=-\frac{\pi }{2}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i

Por otra parte tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 2\in Re , entonces la linea vertical Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ Rez=2

se transforma en el círculo de radio

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^2\thickapprox 7.4


De igual forma para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ Rez=0 , se transforma en el círculo de radio

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ e^0=1


--Ralf Gutierrez 03:11 22 nov 2009 (UTC)




2.- Exprese Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) , en la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x+iy .

por propiedades de la exponencial sabemos que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)


y que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}


entonces la expreción completa sería:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}


Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498 .

--Josua Da Vinci 18:19 17 nov 2009 (UTC)


3.- Demuestre que la función exponencial compleja no está acotada en ninguna semirrecta por el origen. Describa la imagen.

Para realizar esta demostración tomamos la función exponencial compleja de la siguiente manera:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left[iy\right]=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{iy}{n}\right)^{n}

Recordando que la exponencial se puede escribir de la siguiente manera

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r_{n}\left(cos\theta_{n}+isen\theta_{n}\right)=\left(1+\frac{iy}{n}\right)

Ahora tomando la norma al cuadrado en ambos lados

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r_{n}^{2}=\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)

Despejando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r{}_{n} y elevando a la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n , tenemos la siguiente expresión:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): r_{n}^{n}=\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)^{\frac{n}{2}}

Tomando el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ln

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): ln\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)=\frac{n}{2}ln\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)

Hacemos el cambio de variable Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n=\frac{1}{u} y tomamos el límite

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}ln\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)=\lim_{u\to0}\frac{\left(1+u^{2}y^{2}\right)}{u^{2}}\frac{u}{2}=0

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore\lim_{n\to\infty}r_{n}^{n}=1

Para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \theta_{n}=\arctan\frac{y}{n} tenemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n\theta_{n}=n\arctan\frac{y}{n} , haciendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n=\frac{1}{u} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lim_{u\to0}\frac{\arctan uy}{u}=y .

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \therefore n\theta_{n}\rightarrow y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left[iy\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{iy}{n}\right)^{n}=\cos y+i\sin y .

Con esto queda demostrado que la exponencial compleja no está acotada por ninguna semirrecta.

La imagen se transforman en un rayo con ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): y , que parte del origen y que va creciendo conforme crece la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x .


--Oscar Adrian 04:19 2 dic 2009 (UTC)



4.-Demuestre que bajo la acción de la función exponencial, dos líneas horizontales, simétricas con respecto al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x , se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.


Solución.

Basta con demostrar que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)

Sea

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left(iy\right)=cosy+iseny


Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left(iy\right)=cosy+iseny
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right)


Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)


Debemos tener en cuenta que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): Im z = y \! es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \! Re z = x .


--Dali 04:12 15 nov 2009 (UTC)



5 ¿Qué puntos del plano complejo cumplen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left(iw\right)=\exp\left(i\overline{w}\right) ?

Solución:


Sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w=n\pi y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{w}=-n\pi

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left(iw\right)=\exp\left(in\pi\right)=\left(cos\left(n\pi\right)+isen\left(n\pi\right)\right)=\pm1
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \exp\left(i\overline{w}\right)=\exp\left(-in\pi\right)=\left(cos\left(-n\pi\right)+isen\left(-n\pi\right)\right)=\left(cos\left(n\pi\right)-isen\left(n\pi\right)\right)=\pm1


(Recordemos que: y

Por lo tanto


5. ¿ Qué puntos del plano complejo cumplen ?


Sea con


Tenemos


es decir

por lo tanto

es valido para todos los puntos del eje real del plano complejo.


--Gabita 17:47 8 dic 2009 (UTC)


--Dali 07:12 7 dic 2009 (UTC)


SECCION 1.3.2

2 Calcule todos los valores que toman las distintas ramas del logaritmo de .

Solución.

Expresemos en su forma polar




Ahora recordemos que


Si tomamos los valores encontrados para y la ultima expresion toma la forma



De donde el valor principal se obtiene haciendo .


--Dali 07:21 7 dic 2009 (UTC)

SECCION 1.3.3

1.Calcule todos los valores

recordando

, y

=

sustituyendo

Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos

donde

y valen 1 los valores encontrados seran multiplos de

donde k pertenece a los numeros naturales.

Esta expresion puede tomar muchos valores, tantos como variemos "k" porquela expresion que tenemos no tiene modulo

ahora encontrando los valores

donde Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos

para cualquier w

finalmente calculando los valores

para cualquier z

--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.





3.- Demuestre que si , entonces .


Solución.


Sea


Entonces


pues



como


si tomamos el cambio obtenemos que



Pues .



--Dali 02:23 15 nov 2009 (UTC)






4. Exhiba para las cuales no se cumpla .


Sean de la forma


como se cumple


desarrollamos:





Esta igualdad se cumple para con y


por lo tanto no se cumple para


con y --Gabita 20:22 12 nov 2009 (UTC)

SECCION 1.3.4

1. Pruebe la identidad .


Sabemos que




Entonces






--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)





2. Pruebe que el minimo periodo de las funciones y es .


sen z = sen(z + 2kπ)


Desarrollamos:


sen(z + 2kπ) = sen z cos(2kπ) + sen(2kπ) cos z


como


sen z cos(2kπ) + sen(2kπ) cos z = sen z


entonces


cos(2kπ) = 1


sen(2kπ) = 0


esto se cumple para


con k = 0,1,2,...


por lo tanto


senz = sen(z + 0) = sen(z +2π) = sen(z +2nπ) con n = 2,3,...


para k = 0 no hay traslacion, para k = 1 hay traslacion por 2π, entonces el minimo periodo para sen z es 2π.


cos z = cos(z + 2kπ)


Desarrollamos:


cos(z + 2kπ) = cos z cos(2kπ) - sen(2kπ) sen z


como


cos z cos(2kπ) - sen(2kπ) cos z = cos z


entonces


cos(2kπ) = 1


sen(2kπ) = 0


esto se cumple para


con k = 0,1,2,...


por lo tanto


cos z = cos(z + 0) = cos(z +2π) = cos(z +2nπ) con n = 2,3,...


para k = 0 no hay traslacion, para k = 1 hay traslacion por 2π, entonces el minimo periodo para cos z es 2π.



--Gabita 17:47 8 dic 2009 (UTC)




3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.


Dadas , se cumple la siguiente igualdad


.


Sabemos que




Entonces





--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)


4.- Resuelva , y .

Sabemos que

Y queremos reolver

Entonces igualando estas dos ecuaciones tenemos lo siguiente:

Haciendo un poco de algebra que a continuación se muestra, despejamos , que es el valor del numero que queremos encontrar

Multiplicando lo anterior por

Que esta ya es facil de resolver a partir de

Entonces tetenemos que

Y tomando el logaritmo en ambos lados

para , tenemos que

Y para

Ahora haciendo el mismo procedimiento para , tenemos que

para , tenemos que

--Oscar Adrian 06:05 4 dic 2009 (UTC)



5. Demuestre la identidad


partiendo de que puedo expresar:




y


.


entonces en terminos de las exponenciales obtengo.


.


resolviendo el producto y simplificando, obtengo:





--Josua Da Vinci 18:08 1 dic 2009 (UTC)

KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.

--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla


9.- Describa la geometría de en la región . Sugerencia: Usar (1.8).

Para describir la geometría de esta función tomamos la siguiente igualdad

Que esto nos dice que nuestra nueva grafica sera la del seno pero desfasada

Asi mismo tomando como referencia la figura 1.23 de la pagina 44 del libro de texto nuestro resultado geometrico es el siguiente:


Coseno.gif

--Oscar Adrian 05:09 2 dic 2009 (UTC)


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