Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.3»
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Línea 1: | Línea 1: | ||
'''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,\frac{ | '''1. Sea <math>A= \left \{ z \in C\mid 0<Rez<2,-\frac{\pi }{2}<Imz<\frac{\pi }{2}\right \}</math>. ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.''' | ||
La imagen de la recta horizontal <math>Imz=\frac{\pi }{2}</math> bajo esta función | |||
es la semilinea que surge del origen con argumento <math>\frac{\pi }{2}</math>, | |||
entonces lo que pasa por el punto | |||
<math>e^\left(i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}+isen{\frac{\pi}{2}}=i</math> | |||
De igual forma para <math>Imz=-\frac{\pi }{2}</math> | |||
<math>e^\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=cos{\frac{\pi}{2}}-isen{\frac{\pi}{2}}=-i</math> | |||
Por otra parte tenemos <math>2\in Re</math>, entonces la linea vertical <math>\ Rez=2</math> | |||
se transforma en el círculo de radio | |||
<math>e^2\thickapprox 7.4</math> | |||
De igual forma para <math>\ Rez=0</math>, se transforma en el círculo de radio | |||
<math>\ e^0=1</math> | |||
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 03:11 22 nov 2009 (UTC) | |||
---- | |||
'''2.- Exprese <math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)</math>, en la forma <math>x+iy</math>.''' | |||
por propiedades de la exponencial sabemos que: | |||
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right) =e^4 e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)</math> | |||
y que <math>e^\left(i\frac{\pi}{6}\right)=cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}</math> | |||
entonces la expreción completa sería: | |||
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=e^4\left(cos{\frac{\pi}{6}}+isen{\frac{\pi}{6}}\right)</math> | |||
<math>=e^4cos{\frac{\pi}{6}}+ie^4sen{\frac{\pi}{6}}</math> | |||
<math>e^\left(4+i\frac{\pi}{6}\right)=54.59+i0.498</math>. | |||
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:19 17 nov 2009 (UTC) | |||
---- | |||
'''3.- Demuestre que la función exponencial compleja no está acotada en ninguna semirrecta por el origen. Describa la imagen.''' | |||
Para realizar esta demostración tomamos la función exponencial compleja de la siguiente manera: | |||
<math>\exp\left[iy\right]=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{iy}{n}\right)^{n}</math> | |||
Recordando que la exponencial se puede escribir de la siguiente manera | |||
<math>r_{n}\left(cos\theta_{n}+isen\theta_{n}\right)=\left(1+\frac{iy}{n}\right)</math> | |||
Ahora tomando la norma al cuadrado en ambos lados | |||
<math>r_{n}^{2}=\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)</math> | |||
Despejando <math>r{}_{n}</math> y elevando a la <math>n</math>, tenemos la siguiente expresión: | |||
<math>r_{n}^{n}=\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)^{\frac{n}{2}}</math> | |||
Tomando el <math>\ln</math> | |||
<math>ln\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)=\frac{n}{2}ln\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)</math> | |||
Hacemos el cambio de variable <math>n=\frac{1}{u}</math> y tomamos el límite | |||
<math>\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2}ln\left(1+\frac{y^{2}}{n^{2}}\right)=\lim_{u\to0}\frac{\left(1+u^{2}y^{2}\right)}{u^{2}}\frac{u}{2}=0</math> | |||
<math>\therefore\lim_{n\to\infty}r_{n}^{n}=1</math> | |||
Para <math>\theta_{n}=\arctan\frac{y}{n}</math> tenemos que <math>n\theta_{n}=n\arctan\frac{y}{n}</math>, | |||
haciendo <math>n=\frac{1}{u}</math>, <math>\lim_{u\to0}\frac{\arctan uy}{u}=y</math>. | |||
<math>\therefore n\theta_{n}\rightarrow y</math> | |||
<math>\exp\left[iy\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{iy}{n}\right)^{n}=\cos y+i\sin y</math>. | |||
Con esto queda demostrado que la exponencial compleja no está acotada | |||
por ninguna semirrecta. | |||
La imagen se transforman en un rayo con ángulo <math>y</math>, que parte del | |||
origen y que va creciendo conforme crece la <math>x</math>. | |||
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 04:19 2 dic 2009 (UTC) | |||
---- | |||
'''4.-Demuestre que bajo la acción de la función exponencial, dos líneas horizontales, simétricas con respecto al eje <math>x</math>, se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.''' | |||
'''Solución.''' | |||
Basta con demostrar que | |||
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center> | |||
Sea | |||
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny | |||
</math></center> | |||
Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que: | |||
<center><math>\exp\left(iy\right)=cosy+iseny</math></center> | |||
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\overline{cosy+iseny}=cosy-iseny=cos\left(-y\right)+isen\left(-y\right)=\exp\left(-iy\right) | |||
</math></center> | |||
<center><math>\overline{\exp\left(iy\right)}=\exp\left(-iy\right)</math></center> | |||
Debemos tener en cuenta que <math>Im z = y \!</math> es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir <math>\! Re z = x</math>. | |||
--[[Usuario:Dali|Dali]] 04:12 15 nov 2009 (UTC) | |||
---- | |||
'''5 ¿Qué puntos del plano complejo cumplen <math>\exp\left(iw\right)=\exp\left(i\overline{w}\right)</math>?''' | |||
'''Solución:''' | |||
<math> | Sea <math> w=n\pi </math> y <math>\overline{w}=-n\pi</math> | ||
Entonces | |||
<center><math>\exp\left(iw\right)=\exp\left(in\pi\right)=\left(cos\left(n\pi\right)+isen\left(n\pi\right)\right)=\pm1 | |||
</math></center> | |||
<center><math>\exp\left(i\overline{w}\right)=\exp\left(-in\pi\right)=\left(cos\left(-n\pi\right)+isen\left(-n\pi\right)\right)=\left(cos\left(n\pi\right)-isen\left(n\pi\right)\right)=\pm1 | |||
</math></center> | |||
(Recordemos que: <math>sen\left(n\pi\right)=0</math> y <math>cos\left(n\pi\right)=\pm1) | |||
</math> | |||
Por lo tanto | |||
<center><math>\exp\left(iw\right)=\exp\left(i\overline{w}\right)=\pm1 | |||
</math></center> | |||
'''5. ¿ Qué puntos del plano complejo cumplen <math>e^{iw} = e^{i\bar{w}}</math>?''' | |||
Sea <math> \qquad w \in \mbox{C} \qquad </math> con <math> w = x + i y</math> | |||
Tenemos <math> e^{iw} = e^{i\bar{w}} \Rightarrow iw = i\bar{w} </math> | |||
<math> (-i)iw = i\bar{w}(-i) </math> | |||
<math>w = \bar{w}</math> es decir | |||
<math> x + iy = x - iy </math> | |||
<math> iy = - iy </math> | |||
<math> 2iy = 0 \Rightarrow y = 0 </math> | |||
<math>\ | por lo tanto <math> w = \bar{w} = x </math> | ||
<math> e^{iw} = e^{i\bar{w}} </math> es valido para todos los puntos del eje real del plano complejo. | |||
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 17:47 8 dic 2009 (UTC) | |||
--[[Usuario:Dali|Dali]] 07:12 7 dic 2009 (UTC) | |||
---- | |||
== '''SECCION 1.3.2''' == | |||
'''2 Calcule todos los valores que toman las distintas ramas del logaritmo de <math>\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math>.''' | |||
'''Solución.''' | |||
Expresemos <math>z=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}</math> en su forma polar | |||
<math> | <math>r=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1</math> | ||
<math>\theta=\frac{\pi}{3}</math> | |||
Ahora recordemos que | |||
<math>\ln z=\ln r+i\left(\theta+2k\pi\right)</math> | |||
Si tomamos los valores encontrados para <math>r</math> y <math>\theta</math> la ultima expresion toma la forma | |||
<math>\ln z=\ln\left(1\right)+i\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi\right)=0+i\left(\frac{\pi}{3}+2k\pi\right) | |||
</math> | </math> | ||
De donde el valor principal se obtiene haciendo <math>k=0</math>. | |||
--[[Usuario:Dali|Dali]] 07:21 7 dic 2009 (UTC) | |||
=='''SECCION 1.3.3'''== | |||
'''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math> | '''1.Calcule todos los valores ''' <math>(1-i)^{4-2i}</math> <math> i^w</math> <math>z^i</math> | ||
Línea 117: | Línea 266: | ||
<math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales. | <math>-4 e^{((4k-1/2)\pi-iln2)}</math> donde '''k''' pertenece a los numeros naturales. | ||
Esta expresion puede tomar muchos valores, tantos como variemos "k" porquela expresion que tenemos no tiene modulo <math>2\pi</math> | |||
ahora encontrando los valores <math> i^w</math> | ahora encontrando los valores <math> i^w</math> | ||
Línea 133: | Línea 284: | ||
<math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z''' | <math>e^{-(argz+iln|z|}</math> para cualquier '''z''' | ||
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla. | |||
---- | |||
'''3.- Demuestre que si <math>w\in\mathbb{R}</math>, entonces <math>\left|Z^{w}\right|=\left|Z\right|^{w}</math>.''' | |||
'''Solución.''' | |||
Sea <math>z^{w}=r^{w}\exp\left(iw\theta\right)</math> | |||
Entonces | |||
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right| | |||
</math></center> | |||
pues | |||
<center><math> r=\left|z\right| | |||
</math></center> | |||
como | |||
<center><math> \left|\exp\left(i\theta\right)\right|=\sqrt{cos^{2}\theta+sen^{2}\theta}=1 | |||
</math></center> | |||
si tomamos el cambio <math>\gamma=w\theta\!</math> obtenemos que | |||
<center><math>\left|z^{w}\right|=\left|r^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\exp\left(iw\theta\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left|\exp\left(i\gamma\right)\right|=\left|\left|z\right|^{w}\right|\left(1\right)=\left|z\right|^{w} | |||
</math></center> | |||
Pues <math>w\in\mathbb{R}</math>. | |||
--[[Usuario:Dali|Dali]] 02:23 15 nov 2009 (UTC) | |||
---- | |||
'''4. Exhiba <math> z, w \in \mbox{C} </math> para las cuales no se cumpla <math>\big | | |||
z^w\big | | |||
= \big | | |||
z\big | | |||
^{\big | | |||
w\big |} | |||
</math>. | |||
Sean <math>z, w \in \mbox{C} </math> de la forma <math>w = a + ib </math> <math>z = x + iy</math> | |||
como <math>\big |w\big | \in \mbox{R}</math> se cumple <math>\big |z\big |^{\big |w\big |} = \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math> | |||
desarrollamos: <math>\big | | |||
z^w\big | | |||
= \big |{z^{\big |w\big |}}\big |</math> | |||
<math>e^{w(log\big |z\big | + i argz)} = e^{\big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)}</math> | |||
<math>\Longleftrightarrow | |||
</math> <math>\qquad w(log\big |z\big | + i argz) = \big |w\big |(log\big |z\big | + i argz)</math> | |||
<math> \Rightarrow w = \big |w\big | \Rightarrow w\ge 0</math> | |||
Esta igualdad se cumple para <math> w = a + ib </math> con <math> b = 0 </math> y <math>w \ge0</math> | |||
por lo tanto <math>\big | | |||
z^w\big | | |||
= \big | | |||
z\big | | |||
^{\big | | |||
w\big |} | |||
</math> no se cumple para <math> w = a + ib </math> | |||
con <math>b \ne 0</math> y <math>w \le 0</math> | |||
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 20:22 12 nov 2009 (UTC) | |||
== '''SECCION 1.3.4''' == | |||
Línea 162: | Línea 423: | ||
<math>\therefore </math> | <math>\therefore </math> | ||
<math>\ {cosh t= cos(it)}</math> | <math>\ {cosh t= cos(it)}</math> | ||
Línea 170: | Línea 432: | ||
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:16 10 nov 2009 (UTC) | --[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:16 10 nov 2009 (UTC) | ||
'''2. Pruebe que el minimo periodo de las funciones <math>\quad sen{z}</math> y <math>\quad cos{z} \quad </math> es <math>\quad 2\pi \quad </math>. | |||
'''sen z = sen(z + 2kπ)''' | |||
Desarrollamos: | |||
sen(z + 2kπ) = sen z cos(2kπ) + sen(2kπ) cos z | |||
como | |||
sen z cos(2kπ) + sen(2kπ) cos z = sen z | |||
entonces | |||
cos(2kπ) = 1 | |||
sen(2kπ) = 0 | |||
esto se cumple para | |||
<math>\qquad k \in \mbox{Z} \qquad </math> con k = 0,1,2,... | |||
por lo tanto | |||
senz = sen(z + 0) = sen(z +2π) = sen(z +2nπ) con n = 2,3,... | |||
para k = 0 no hay traslacion, para k = 1 hay traslacion por 2π, entonces el minimo periodo para '''sen z''' es 2π. | |||
'''cos z = cos(z + 2kπ)''' | |||
Desarrollamos: | |||
cos(z + 2kπ) = cos z cos(2kπ) - sen(2kπ) sen z | |||
como | |||
cos z cos(2kπ) - sen(2kπ) cos z = cos z | |||
entonces | |||
cos(2kπ) = 1 | |||
sen(2kπ) = 0 | |||
esto se cumple para | |||
<math>\qquad k \in \mbox{Z} \qquad </math> con k = 0,1,2,... | |||
por lo tanto | |||
cos z = cos(z + 0) = cos(z +2π) = cos(z +2nπ) con n = 2,3,... | |||
para k = 0 no hay traslacion, para k = 1 hay traslacion por 2π, entonces el minimo periodo para '''cos z''' es 2π. | |||
--[[Usuario:Gabita|Gabita]] 17:47 8 dic 2009 (UTC) | |||
Línea 189: | Línea 561: | ||
<math>cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}</math> | <math>cos z={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}</math> | ||
<math>sen z={ \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}</math> | |||
Entonces | |||
<math>cosz {cosw}-senz {senw}={ \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\cdot {\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2}}-{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}}</math> | |||
<math>=\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}\right ]+\frac{1}{4}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}\right ]</math> | |||
<math>=\frac{1}{2}\left [e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)}\right ]=cos(z+w)</math> | |||
<math>\therefore </math> | |||
<math>\ {cos(z+w)=cosz {cosw}-senz {senw}}</math> | |||
--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 10 nov 2009 (UTC) | --[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 19:18 10 nov 2009 (UTC) | ||
---- | |||
'''4.- Resuelva <math>\cos z=-\frac{1}{2}</math>, <math>\cos z=0</math> y <math>\sin z=i</math>.''' | |||
Sabemos que | |||
<math>\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math> | |||
Y queremos reolver | |||
<math>\cos z=w</math> | |||
Entonces igualando estas dos ecuaciones tenemos lo siguiente: | |||
<math>\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=w</math> | |||
Haciendo un poco de algebra que a continuación se muestra, despejamos <math>z</math>, que es el valor del numero que queremos encontrar | |||
<math>e^{iz}+e^{-iz}-2w=0</math> | |||
Multiplicando lo anterior por <math>e{}^{iz}</math> | |||
<math>e^{2iz}-2e^{iz}+1=0</math> | |||
Que esta ya es facil de resolver a partir de | |||
<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}</math> | |||
Entonces tetenemos que | |||
<math>e{}^{iz}=\frac{2w\pm\sqrt{4w^{2}-4}}{2}=w\pm\sqrt{w^{2}-1}</math> | |||
Y tomando el logaritmo en ambos lados | |||
<math>iz=\ln\left(w\pm\sqrt{w^{2}-1}\right)</math> | |||
<math>z=-i\ln\left(w\pm\sqrt{w^{2}-1}\right)</math> | |||
<math>\therefore</math> para <math>w=-\frac{1}{2}</math>, tenemos que | |||
<math>z=-i\ln\left(-\frac{1}{2}\pm\frac{i}{2}\sqrt{3}\right)=-\frac{2\pi}{3}</math> | |||
Y para | |||
<math>w=0</math> | |||
<math>z=-i\ln\left(\pm\sqrt{-1}\right)=\pi</math> | |||
Ahora haciendo el mismo procedimiento para <math>\sin z</math>, tenemos que | |||
<math>z=-i\ln\left(iw\pm\sqrt{1-w^{2}}\right)</math> | |||
<math>\therefore</math> para <math>w=i</math>, tenemos que | |||
<math>z=i\ln(-1\pm\sqrt{2})</math> | |||
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 06:05 4 dic 2009 (UTC) | |||
---- | |||
''' | '''5. Demuestre la identidad <math>senz-senw=2sen\left (\frac{z-w}{2}\right)cos\left (\frac{z+w}{2}\right).</math>''' | ||
partiendo de que puedo expresar: | |||
<math>cos(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}</math> | |||
y | |||
<math>sen(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}</math>. | |||
entonces en terminos de las exponenciales obtengo. | |||
<math>2sen\left (\frac{z-w}{2}\right)cos\left (\frac{z+w}{2}\right)=2\left(\frac{e^{i\left(\frac{z-w}{2}\right)}-e^{-i\left(\frac{z-w}{2}\right)}}{2i}\right)\left(\frac{e^{i\left(\frac{z+w}{2}\right)}+e^{-i\left(\frac{z+w}{2}\right)}}{2}\right)</math>. | |||
resolviendo el producto y simplificando, obtengo: | |||
<math>=2\left(\frac{e^{iz}+e^{-iw}-e^{iw}-e^{-iz}}{4i}\right)=\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)-\left(\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}\right)</math> | |||
<math>=sen\left(z\right)-sen\left(w\right)</math> | |||
--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 18:08 1 dic 2009 (UTC) | |||
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán | |||
por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando. | |||
--[[Usuario:Karla|Karla]] 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla | --[[Usuario:Karla|Karla]] 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla | ||
---- | |||
9.- Describa la geometría de <math>\cos z</math> en la región <math>\left\{ z \epsilon \mathbb{C\mid}0<Re z<\pi\right\} </math>. | |||
Sugerencia: Usar (1.8). | |||
Para describir la geometría de esta función tomamos la siguiente igualdad | |||
<math>\sin\left(z+\frac{\pi}{2}\right)=\cos z</math> | |||
Que esto nos dice que nuestra nueva grafica sera la del seno pero desfasada <math>\frac{\pi}{2}</math> | |||
Asi mismo tomando como referencia la figura 1.23 de la pagina 44 del | |||
libro de texto nuestro resultado geometrico es el siguiente: | |||
[[Imagen:Coseno.gif]] | |||
--[[Usuario:Oscar Adrian|Oscar Adrian]] 05:09 2 dic 2009 (UTC) | |||
---- | |||
[[Compleja:ej-cap1.1]] | |||
[[Compleja:ej-cap1.2]] | |||
[[Compleja:ej-cap1.3]] | |||
[[Compleja:ej-cap1.4]] | |||
[[Compleja:ej-cap2.1]] | |||
[[Compleja:ej-cap2.2]] | |||
[[Compleja:ej-cap2.3]] | |||
[[Compleja:ej-cap2.4]] | |||
[[Compleja:ej-cap2.5]] | |||
[[Compleja:ej-cap3.1]] | |||
[[Compleja:ej-cap3.2]] | |||
[[Compleja:ej-cap3.3]] | |||
[[Compleja:ej-cap3.4]] | |||
[[categoría:Compleja]] |
Revisión del 19:45 12 may 2015
1. Sea . ¿Cuál es la imagen de A bajo la exponencial?.
La imagen de la recta horizontal bajo esta función
es la semilinea que surge del origen con argumento ,
entonces lo que pasa por el punto
De igual forma para
Por otra parte tenemos , entonces la linea vertical
se transforma en el círculo de radio
De igual forma para , se transforma en el círculo de radio
--Ralf Gutierrez 03:11 22 nov 2009 (UTC)
2.- Exprese , en la forma .
por propiedades de la exponencial sabemos que:
y que
entonces la expreción completa sería:
.
--Josua Da Vinci 18:19 17 nov 2009 (UTC)
3.- Demuestre que la función exponencial compleja no está acotada en ninguna semirrecta por el origen. Describa la imagen.
Para realizar esta demostración tomamos la función exponencial compleja de la siguiente manera:
Recordando que la exponencial se puede escribir de la siguiente manera
Ahora tomando la norma al cuadrado en ambos lados
Despejando y elevando a la , tenemos la siguiente expresión:
Tomando el
Hacemos el cambio de variable y tomamos el límite
Para tenemos que , haciendo , .
.
Con esto queda demostrado que la exponencial compleja no está acotada por ninguna semirrecta.
La imagen se transforman en un rayo con ángulo , que parte del origen y que va creciendo conforme crece la .
--Oscar Adrian 04:19 2 dic 2009 (UTC)
4.-Demuestre que bajo la acción de la función exponencial, dos líneas horizontales, simétricas con respecto al eje , se transforman en dos semirrectas por el origen que son conjugadas una de otra.
Solución.
Basta con demostrar que
Sea
Si tomamos el conjugado de la última expresión tenemos que:
Debemos tener en cuenta que es un punto y que para tener una recta o un segmento de ella debemos incluir .
--Dali 04:12 15 nov 2009 (UTC)
5 ¿Qué puntos del plano complejo cumplen ?
Solución:
Sea y
Entonces
(Recordemos que: y
Por lo tanto
5. ¿ Qué puntos del plano complejo cumplen ?
Sea con
Tenemos
es decir
por lo tanto
es valido para todos los puntos del eje real del plano complejo.
--Gabita 17:47 8 dic 2009 (UTC)
--Dali 07:12 7 dic 2009 (UTC)
SECCION 1.3.2
2 Calcule todos los valores que toman las distintas ramas del logaritmo de .
Solución.
Expresemos en su forma polar
Ahora recordemos que
Si tomamos los valores encontrados para y la ultima expresion toma la forma
De donde el valor principal se obtiene haciendo .
--Dali 07:21 7 dic 2009 (UTC)
SECCION 1.3.3
1.Calcule todos los valores
recordando
, y
=
sustituyendo
Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos
donde
y valen 1 los valores encontrados seran multiplos de
donde k pertenece a los numeros naturales.
Esta expresion puede tomar muchos valores, tantos como variemos "k" porquela expresion que tenemos no tiene modulo
ahora encontrando los valores
donde Nota: encontrando todos los posibles valores proponemos
para cualquier w
finalmente calculando los valores
para cualquier z
--Karla 19:18 7 nov 2009 (UTC)Karla.
3.- Demuestre que si , entonces .
Solución.
Sea
Entonces
pues
como
si tomamos el cambio obtenemos que
Pues .
--Dali 02:23 15 nov 2009 (UTC)
4. Exhiba para las cuales no se cumpla .
Sean de la forma
como se cumple
desarrollamos:
Esta igualdad se cumple para con y
por lo tanto no se cumple para
con y
--Gabita 20:22 12 nov 2009 (UTC)
SECCION 1.3.4
1. Pruebe la identidad .
Sabemos que
Entonces
--Ralf Gutierrez 19:16 10 nov 2009 (UTC)
2. Pruebe que el minimo periodo de las funciones y es .
sen z = sen(z + 2kπ)
Desarrollamos:
sen(z + 2kπ) = sen z cos(2kπ) + sen(2kπ) cos z
como
sen z cos(2kπ) + sen(2kπ) cos z = sen z
entonces
cos(2kπ) = 1
sen(2kπ) = 0
esto se cumple para
con k = 0,1,2,...
por lo tanto
senz = sen(z + 0) = sen(z +2π) = sen(z +2nπ) con n = 2,3,...
para k = 0 no hay traslacion, para k = 1 hay traslacion por 2π, entonces el minimo periodo para sen z es 2π.
cos z = cos(z + 2kπ)
Desarrollamos:
cos(z + 2kπ) = cos z cos(2kπ) - sen(2kπ) sen z
como
cos z cos(2kπ) - sen(2kπ) cos z = cos z
entonces
cos(2kπ) = 1
sen(2kπ) = 0
esto se cumple para
con k = 0,1,2,...
por lo tanto
cos z = cos(z + 0) = cos(z +2π) = cos(z +2nπ) con n = 2,3,...
para k = 0 no hay traslacion, para k = 1 hay traslacion por 2π, entonces el minimo periodo para cos z es 2π.
--Gabita 17:47 8 dic 2009 (UTC)
3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.
Dadas , se cumple la siguiente igualdad
.
Sabemos que
Entonces
--Ralf Gutierrez 19:18 10 nov 2009 (UTC)
4.- Resuelva , y .
Sabemos que
Y queremos reolver
Entonces igualando estas dos ecuaciones tenemos lo siguiente:
Haciendo un poco de algebra que a continuación se muestra, despejamos , que es el valor del numero que queremos encontrar
Multiplicando lo anterior por
Que esta ya es facil de resolver a partir de
Entonces tetenemos que
Y tomando el logaritmo en ambos lados
para , tenemos que
Y para
Ahora haciendo el mismo procedimiento para , tenemos que
para , tenemos que
--Oscar Adrian 06:05 4 dic 2009 (UTC)
5. Demuestre la identidad
partiendo de que puedo expresar:
y
.
entonces en terminos de las exponenciales obtengo.
.
resolviendo el producto y simplificando, obtengo:
--Josua Da Vinci 18:08 1 dic 2009 (UTC)
KARLA: yo hago los dos ejercicios que faltan en esta sección, creo que son el 2 y 4, es asi? atte. Gaby Durán por cierto no he asistido a clase por problemas familiares, pero estoy trabajando.
--Karla 19:21 7 nov 2009 (UTC)Karla
9.- Describa la geometría de en la región . Sugerencia: Usar (1.8).
Para describir la geometría de esta función tomamos la siguiente igualdad
Que esto nos dice que nuestra nueva grafica sera la del seno pero desfasada
Asi mismo tomando como referencia la figura 1.23 de la pagina 44 del libro de texto nuestro resultado geometrico es el siguiente:
--Oscar Adrian 05:09 2 dic 2009 (UTC)
Compleja:ej-cap1.1 Compleja:ej-cap1.2 Compleja:ej-cap1.3 Compleja:ej-cap1.4
Compleja:ej-cap2.1 Compleja:ej-cap2.2 Compleja:ej-cap2.3 Compleja:ej-cap2.4 Compleja:ej-cap2.5
Compleja:ej-cap3.1 Compleja:ej-cap3.2 Compleja:ej-cap3.3 Compleja:ej-cap3.4