Compleja:ej-cap1.2

De luz-wiki

EJERCICIOS 1.2.1

1. Demuestre que una una funcion es continua en si y soló si para toda sucesión tal que cuando se tiene cuando


DEMO:

Supongamos que es continua en , es decir:

tal que

y supongamos que es una sucesión en tal que

P.D.



como es continua en




--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)



2. Demuestre que una sucesión en es de Cauchy si y sólo es convergente.

DEMO:

Una sucesión en se dice que es de Cauchy si para todo tal que .


P.D.


Si la sucesión es convergente, esto es si


tal que


si se tiene que



--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)

EJERCICIOS 1.2.2

REVISADO

1. Demuestre que la funcion estereográfica de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.

Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo

Una función es sobre si para toda y pertenece al Codominio ,existe x pertenece al Dominio de tal que

Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.

Dominio y el Codominio y tambièn

Suponga S donde

Condicion de la esfera donde pertenece a i

Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática es 1


Codominio de (f)

Sea y que pertenece al Codominio de (f) donde :

Sea y

tomando en cuenta que

de esta manera

--Karla 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez

REVISADO

2. Demuestre que si cuando , entonces cuando

Como

Recordando la definiciòn del limite dado un nos aproximamos. por hipótesis.

P.D. , asi como también

Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un donde limite se aproxima a cero cuando

P.D.


P.D.


Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos

P.D.

Tomamos el lìmite descrito anteriomente.

Por hipótesis tal que

Sea como antes por la continuidad de

Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.

Si



--Karla 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez

3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann como sigue: si , y si y .Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.

Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)

Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.


Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): d_c(z_1,z_2) = \frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, \qquad \textrm{ si }\: z_1,z_2\neq\infty

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): d_c(z_1,z_2) = \frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, \qquad \textrm{ si }\: z_2=\infty.

para los casos extremos.

si

si


si


generalizando, para , (arbitrarias).

por hip.

.


tal que si


.


entonces .



por

ahora si y donde

con la metrica cordal.



ya q se mostro que

es continua, se puede probar lo mismo para

.


por teo. de continuidad si

son continuas, tambien


, es continua.


es continua si


--Josua Da Vinci 00:42 21 oct 2009 (UTC)




4.Demuestre que si AB son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius f,g, respectivamente, entonces la matriz BA representa la composicion gf, que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.

SOLUCION:

tenemos que son transformaciones de Möbius



sean las representaciones matriciales de respectivamente


entonces


entonces

los elementos de la matriz BA son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto gf es biyectiva y de Möbius.


Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que gf es continua y que


tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.

--Wendy 04:26 18 oct 2009 (UTC)

5.Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e

Sea

Sea


con


y ;


entonces



Sea


con




Sea


con


entonces



6.Pruebe que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y . Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.



Considere la Transformación de Möbius.



Sea se tiene:

entonces es una traslación.


Sea se tiene:

entonces T(z) es una rotación por arg(a) y por una amplificación .


Sea se tiene:

entonces T(z) es una inversión.



Las transformaciones de MÖebius preservan la familia de circulos y rectas:

Las traslaciones, homotecias y rotaciones transforman lineas en lineas y circulos en circulos, vamos a verificar si las inversiones preservan la familia de circulos y rectas.


Una linea o un circulo esta determinado por la ecuacion 1:

...(1)


Sea con

y sea

de modo que


Reacomodamos la ecuacion 1





que tambien es un circulo o una recta.



--Gabita 23:28 26 nov 2009 (UTC)



7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.


Puesto que una transformación del tipo aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.


Un círculo en es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:



Tenemos que





Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano:



Escribiendo , se tiene







finalmente se tiene que


,


que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si , o si .


7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.


Puesto que una transformación del tipo aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.


Puesto que




Por tanto, la imagen de es


.


Sabemos que el lugar geométrico de toda sección cónica viene dado por



Esta ecuación representa una sircunferencia si y


Entonces



representa una recta si y una circunferencia si . Su imagen es



o


.




--Ralf Gutierrez 16:08 22 oct 2009 (UTC)



8.- Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumplen la ecuación constituye una recta o un círculo (llamado de Apolonio).

Solución

Sea


Entonces







Si agrupamos esta expresión se tiene:



Si se tiene la ecuación de una recta, es decir:



Ahora para la ecuación al multiplicarla por toma la forma:



Si completamos los cuadrados (más un poco de álgebra) de esta ultima expresión se obtiene lo siguiente




lo cual es la ecuación de un círculo con centro y cuyo radio es .



Otro método.



agrupando tenemos




si tomamos el cambio , la anterior ecuación se escribe como



si (entonces ) se tiene la ecución de una recta, si es distinto de cero (entonces k es distinto de 1) y se tiene la ecuación de una circunferencia.



--Dali 01:46 15 nov 2009 (UTC)


9.- Sean complejos, tal que no son ambos nulos, probar que , si . Interpretar geometricamente.


Sean . Entonces sustituyendo esto se tiene la siguiente expresión:


Por propiedades de la norma se sigue que


Y multiplicando ambos lados por el denominador llegamos a que


Desarrollando los producto y las operaciones para poder agrupar terminos se llega a


Elevando al cuadrado para tener el cuadrado de la norma tenemos que


Donde es inmediato lo siguiente


Y despues de expander los polinomios



 

Donde


O tambien


Que era lo que se queria mostrar.

Ahora geometricamente esto nos dice que la magnitud de la suma de dos numeros complejos es igual a la magnitud de la suma de sus conjugados.

En las siguientes imagenes se muestra graficamente la interpretacion geometrica, el vector de color naranja es y el azul y verde respectivamente.

Prueba1.jpgPrueba.jpg

--Oscar Adrian 14:12 9 dic 2009 (UTC) --Oscar Adrian 19:42 21 nov 2009 (UTC)



10.- Probar que la funcion es una rotacion de radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.


Las componentes del punto en la esfera unitaria asociado a z son:



Sea y tomando en cuenta que , entonces, las componentes del punto de la esfera unitaria asociado a son:




...


--Luis Nava 00:03 9 nov 2009 (UTC)



11. Probar que dados dos puntos se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si


SOLUCION.

Sea

se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.


Si es el punto P en la esfera de Riemann.


con este punto P y el centro C de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:


Sea donde es el vector director que va de P a C esto es



nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:



Cuando tenemos a en la esfera.

cuando tenemos el centro de la esfera de Riemann.

cuando tenemos al punto que es la antipoda de



teniendo a sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:



, que nos da un punto




Como la proyeccion en la esfera de Riemann de es la antipoda de se debe de cumplir que


Sea




son antipodas si y solo si

--Luis Antelmo 15:11 21 oct 2009 (UTC)

12.¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion  ?


SOLUCIÓN:

para la imagen notemos que es continua exepto cuando , por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.

--Wendy 04:26 18 oct 2009 (UTC)



Compleja:ej-cap1.1 Compleja:ej-cap1.2 Compleja:ej-cap1.3 Compleja:ej-cap1.4

Compleja:ej-cap2.1 Compleja:ej-cap2.2 Compleja:ej-cap2.3 Compleja:ej-cap2.4 Compleja:ej-cap2.5

Compleja:ej-cap3.1 Compleja:ej-cap3.2 Compleja:ej-cap3.3 Compleja:ej-cap3.4 Compleja:ej-cap1.1