Compleja:ej-cap1.2

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EJERCICIOS 1.2.1

1.Demuestre que una una funcion \(f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} \) es continua en \({z_0}\in A\) si y soló si para toda sucesión \({z_n},n\in\mathbb{N}, \) tal que \({z_n}\rightarrow {z_0}\) cuando \(n\rightarrow\infty,\) se tiene \(f(z_n)\rightarrow f(z_0),\) cuando\(n\rightarrow \infty.\)


DEMO:

Supongamos que \( \ f \) es continua en \(\ z_0 \) , es decir\[\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 \]

tal que \(\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon \)

y supongamos que \(\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} \) es una sucesión en \(\ A \) tal que \({z_n}\rightarrow {z_0}\)

P.D.

\(f(z_n)\rightarrow f(z_0)\)


\(\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon \)


como \(\ f\) es continua en \(\ z_0\)


\(\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0\)

\(\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 \)

\(\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta \)


\(\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon\)


\(\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square \)

--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)



2.Demuestre que una sucesión \( \ \lbrace a_n \rbrace\) en \(\mathbb R^n \) es de Cauchy si y sólo es convergente.


DEMO:

Una sucesión en \(\mathbb R^n \) se dice que es de Cauchy si para todo \(\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N \) tal que \(|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N\) .


P.D.


Si la sucesión es convergente, esto es si \(\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N \)


tal que \(|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N\)


\(\Rightarrow \) si \(m,n\geq N ,\) se tiene que


\(\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} \)


\(\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square \)

--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)