Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.2»

De luz-wiki
Sin resumen de edición
Sin resumen de edición
Línea 120: Línea 120:
<math>n\rightarrow \infty.</math>
<math>n\rightarrow \infty.</math>


Recordando la definiciòn del limite dado un <math>N_o</math> nos aproximamos.
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty.  |<\epsilon  </math> por hipótesis.
<math>\exists\N_o\epsilon\mathbb N+ n\geq n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty.  |<\epsilon  </math> por hipótesis.


P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math>
P.D. <math>d_C(z_n,\infty)\rightarrow 0</math>, asi como también <math>n\rightarrow \infty.</math>
Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un <math>N_o^\prime</math> donde limite se aproxima a cero  cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>


P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+\quad n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)  - 0 |<\epsilon  </math>
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+\quad n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |d_C(z_n,\infty)  - 0 |<\epsilon  </math>
Línea 136: Línea 139:


P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+\quad n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n)  - \pi(\infty) |<\epsilon  </math>
P.D.<math>\quad\exists\N_o^\prime\epsilon\mathbb N+\quad n\geq N_o^\prime\to\Rightarrow |\pi(z_n)  - \pi(\infty) |<\epsilon  </math>
Tomamos el lìmite descrito anteriomente.


Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq  n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty.  |<\epsilon  </math>  
Por hipótesis <math>\quad\exists\N_o\epsilon\mathbb N</math> tal que <math>\quad n\geq  n_o\to\Rightarrow | z_n - \infty.  |<\epsilon  </math>  


  Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math>
  Sea <math>N_o</math> como antes por la continuidad de <math>\pi</math>
Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.


Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n)  - \pi(\infty) |<\epsilon</math>   
Si <math>\quad n\geq N_o\to|\pi(z_n)  - \pi(\infty) |<\epsilon</math>   

Revisión del 12:17 14 nov 2009


EJERCICIOS 1.2.1

1.Demuestre que una una funcion es continua en si y soló si para toda sucesión tal que cuando se tiene cuando


DEMO:

Supongamos que es continua en , es decir:

tal que

y supongamos que es una sucesión en tal que

P.D.



como es continua en




--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)



2.Demuestre que una sucesión en es de Cauchy si y sólo es convergente.


DEMO:

Una sucesión en se dice que es de Cauchy si para todo tal que .


P.D.


Si la sucesión es convergente, esto es si


tal que


si se tiene que



--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)



EJERCICIOS 1.2.2

REVISADO

1. Demuestre que la funcion estereográfica de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.

Definicion: Una funcion es suprayectiva si a un punto en la esfera le corresponde uno(s) puntos dentro del plano complejo

Una función es sobre si para toda y pertenece al Codominio ,existe x pertenece al Dominio de tal que

Notaciòn (para la demostraciòn): S= Esfera, C= punto en el plano proyectado por la esfera.

Dominio y el Codominio y tambièn

Suponga S donde

Condicion de la esfera donde pertenece a i

Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática es 1


Codominio de (f)

Sea y que pertenece al Codominio de (f) donde :

Sea y

tomando en cuenta que

de esta manera

--Karla 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez

2. Demuestre que si cuando , entonces cuando

Como

Recordando la definiciòn del limite dado un nos aproximamos. por hipótesis.

P.D. , asi como también

Ahora usando la definiciòn del limite dentro de la mètrica cordal tenemos un donde limite se aproxima a cero cuando

P.D.


P.D.


Usando la definición de la distancia cordal entre dos puntos

P.D.

Tomamos el lìmite descrito anteriomente.

Por hipótesis tal que

Sea  como antes por la continuidad de 

Finalmente usando la definiciòn de metrica cordal.

Si



--Karla 04:20 21 oct 2009 (UTC)Sanchez

3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann como sigue: si , y si y .Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.

Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)

Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.


para los casos extremos.

si

si


si


generalizando, para , (arbitrarias).

por hip.

.



tal que si


.


entonces .



por

ahora si y donde

con la metrica cordal.



ya q se mostro que

es continua, se puede probar lo mismo para

.


por teo. de continuidad si

son continuas, tambien


, es continua.


es continua si


--Josua Da Vinci 00:42 21 oct 2009 (UTC)




4.Demuestre que si AB son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius f,g, respectivamente, entonces la matriz BA representa la composicion gf, que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.

SOLUCION:

tenemos que son transformaciones de Möbius



sean las representaciones matriciales de respectivamente


entonces


entonces

los elementos de la matriz BA son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto gf es biyectiva y de Möbius.


Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que gf es continua y que


tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.

--Wendy 04:26 18 oct 2009 (UTC)

5.Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e

 Considere la Transformación de Möbius.


6.Pruede que las transformaciones de Möbius son composición de algunas de las siguientes funciones: rotaciones, traslaciones, homotecias, y . Concluya mostrando que las transformaciones de Möbius preservan la familia de circulos y rectas.

Considere la Transformación de Möbius.



Sea se tiene:

entonces es una traslación.


Sea se tiene:

entonces es una rotación por y una traslación por una amplificación .


Sea se tiene: entonces es una inversión.



7. Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en la familia de círculos y rectas.


Puesto que una transformación del tipo aplica en circunferencias y rectas, y como las rotaciones, los cambios de escala y las translaciones preservan rectas y circunferencias. Dicha transformación bilineal o de Möbius aplica en círculos y rectas.


Un círculo en es la intersección de un plano con la esfera, por lo cual satiface la siguiente ecuación:



Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección esterografica, cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano:



Escribiendo , y como




se tiene que:



esto es


,


que biene siendo la ecuación de una recta o un círculo, dependiendo si , o si .


--Ralf Gutierrez 16:08 22 oct 2009 (UTC)



10.- Probar que la funcion es una rotacion de radianes en la esfera de Riemann alrededor del eje x.


Las componentes del punto en la esfera unitaria asociado a z son:



Sea y tomando en cuenta que , entonces, las componentes del punto de la esfera unitaria asociado a son:




...


--Luis Nava 00:03 9 nov 2009 (UTC)



11.Probar que dados dos puntos se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y solo si


SOLUCION.

Sea

se pasa del plano complejo a la esfera de Riemann.


Si es el punto P en la esfera de Riemann.


con este punto P y el centro C de la esfera se construye una recta que pase por estos puntos:


Sea donde es el vector director que va de P a C esto es



nuestra ecuacion de la recta queda de la siguiente manera:



Cuando tenemos a en la esfera.

cuando tenemos el centro de la esfera de Riemann.

cuando tenemos al punto que es la antipoda de



teniendo a sobre la esfera de Riemann volvemos al plano complejo mediante la siguiente tranformacion:



, que nos da un punto




Como la proyeccion en la esfera de Riemann de es la antipoda de se debe de cumplir que


Sea


continuara

--Luis Antelmo 15:11 21 oct 2009 (UTC)






12.¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion  ?


SOLUCIÓN:

para la imagen notemos que es continua exepto cuando , por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.

--Wendy 04:26 18 oct 2009 (UTC)