Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.2»

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--[[Usuario:Karla|Karla]] 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez
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'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_c(z_n,infty.)\rightarrow 0</math>
'''2. Demuestre que si <math>z_n\rightarrow \infty.</math> cuando <math>n\rightarrow \infty.</math>, entonces <math>d_c(z_n,infty)\rightarrow 0</math>





Revisión del 22:25 20 oct 2009


EJERCICIOS 1.2.1

1.Demuestre que una una funcion es continua en si y soló si para toda sucesión tal que cuando se tiene cuando


DEMO:

Supongamos que es continua en , es decir:

tal que

y supongamos que es una sucesión en tal que

P.D.



como es continua en




--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)



2.Demuestre que una sucesión en es de Cauchy si y sólo es convergente.


DEMO:

Una sucesión en se dice que es de Cauchy si para todo tal que .


P.D.


Si la sucesión es convergente, esto es si


tal que


si se tiene que



--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)



EJERCICIOS 1.2.2

1. Demuestre que la funcion estereográfica de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.

Una función es sobre si en el Codominio x pertenece al Dominio de

Nota: S= Esfera

Dominio    

Suponga S

Condicion de la esfera donde pertenece a i

Ahora bien sabemos que la magnitud cuadrática es 1


Codominio de (f)

Sea y que pertenece al Codominio d (f) donde :

Sea y

tomando en cuenta que

de esta manera

--Karla 03:09 21 oct 2009 (UTC)Sanchez

2. Demuestre que si cuando , entonces






3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann como sigue: si , y si y .Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.

Transformaciones de Möbius complejas.(1.4)

Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.


para los casos extremos.

si

si


si


--Josua Da Vinci 00:42 21 oct 2009 (UTC)




4.Demuestre que si AB son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius f,g, respectivamente, entonces la matriz BA representa la composicion gf, que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.

SOLUCION:

tenemos que son transformaciones de Möbius



sean las representaciones matriciales de respectivamente


entonces


entonces

los elementos de la matriz BA son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto gf es biyectiva y de Möbius.


Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que gf es continua y que


tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.

--Wendy 04:26 18 oct 2009 (UTC)


12.¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion  ?


SOLUCIÓN:

para la imagen notemos que es continua exepto cuando , por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.

--Wendy 04:26 18 oct 2009 (UTC)

5.Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e

 Considere