Compleja:ej-cap1.2

EJERCICIOS 1.2.1

1.Demuestre que una una funcion $f:A\subset \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ es continua en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {z_0}\in A si y soló si para toda sucesión ${z_{n}},n\in \mathbb {N} ,$ tal que ${z_{n}}\rightarrow {z_{0}}$ cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n\rightarrow\infty, se tiene Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z_n)\rightarrow f(z_0), cuandoError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): n\rightarrow \infty.

DEMO:

Supongamos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ f es continua en $\ z_{0}$ , es decir:

$\forall \epsilon >0,\quad \exists \delta =\delta (\epsilon )>0$

tal que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon

y supongamos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} es una sucesión en $\ A$ tal que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {z_n}\rightarrow {z_0}

P.D.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(z_n)\rightarrow f(z_0)

$\forall \epsilon >0,\quad \exists N=N(\epsilon )\in \mathbb {N} ,\quad n\geq N\Rightarrow |f(z_{n})-f(z_{0})|<\epsilon$

como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ f es continua en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ z_0

$\Rightarrow \exists \delta =\delta (\epsilon )>0$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Rightarrow z_n \rightarrow z_0

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta

$\therefore |f(z_{n})-f(z_{0})|<\epsilon$

$\therefore f(z_{n})\rightarrow f(z_{0})\quad \square$

--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)

2.Demuestre que una sucesión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ \lbrace a_n \rbrace en $\mathbb {R} ^{n}$ es de Cauchy si y sólo es convergente.

DEMO:

Una sucesión en $\mathbb {R} ^{n}$ se dice que es de Cauchy si para todo $\epsilon >0,\quad \exists N=N(\epsilon )\in \mathbb {N}$ tal que $|a_{m}-a_{n}|<\epsilon ,\quad \forall m,n\geq N$ .

P.D.

Si la sucesión es convergente, esto es si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N

tal que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): |a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N

$\Rightarrow$ si $m,n\geq N,$ se tiene que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon}

$\therefore \lbrace a_{n}\rbrace \quad es\quad de\quad Cauchy.\quad \square$

--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)

EJERCICIOS 1.2.2

1. Demuestre que la funcion estereográfica $(x_{1},x_{2},x_{3})\to {\frac {x_{1}+ix_{2}}{1-x_{3}}}$ de la esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.

Una función es sobre si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \forall, y \epsilon, en el Codominio $(f),\quad \exists \epsilon$, en el Dominio de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (f), y = f(x)

Nota: S= Esfera

Dominio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (f)= S,Codominio (f)= C
   

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): c = z\epsilon\mathbb{C}:, f(z)=\frac{x_1+ix_2}{1-x_3}

$z\epsilon \mathbb {C} :x\neq 1$

Suponga ${\bar {x}}\epsilon$ S

Condicion de la esfera Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (x_1^2+x_2^2+x_3^2=1) donde $x_{2}$ pertenece a i

Ahora bien sabemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \quad |(bar{x})^2 |

3. Las transformaciones de Möbius definidas en (1.4) se extienden a la esfera de Riemann Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \hat{c} como sigue: si $c=0,T(\infty )=\infty$, y si $c\neq 0,T(\infty )={\frac {a}{c}}$ y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): T(\frac{-d}{c})=\infty .Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera con la metrica cordal.

Transformaciones de Möbius complejas.(1.4) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z\to\frac{az+b}{cz+d} , ad-bc\neq0, a,b,c,d. \epsilon c.

Se define la metrica cordal en el plano complejo extendido de la sig. manera.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): d_c(z_1,z_2) = \begin{cases} \frac{2\left|z_1-z_2\right|}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}\sqrt{1+\left|z_2\right|^2}}, & si z_1,z_2\neq\infty \\ \frac{2}{\sqrt{1+\left|z_1\right|^2}}, & si z_2=\infty. \end{cases}

para los casos extremos.

si $c=0,T(\infty )={\frac {az+b}{d}}={\frac {a(\infty )+b}{d}}=\infty .$

si $c\neq 0,T(z)={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {z}{z}}{\frac {a+{\frac {b}{z}}}{c+{\frac {d}{z}}}},T(\infty )={\frac {a+{\frac {b}{\infty }}}{c+{\frac {d}{\infty }}}}={\frac {a}{c}}.$

si $T({\frac {-d}{c}})={\frac {a({\frac {-d}{c}})+b}{c({\frac {-d}{c}})+d}}=\infty .$

--Josua Da Vinci 00:42 21 oct 2009 (UTC)

4.Demuestre que si AB son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius f,g, respectivamente, entonces la matriz BA representa la composicion gf, que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.

SOLUCION:

tenemos que $\ f,g$ son transformaciones de Möbius

$f(z)={\frac {a'z+b'}{c'z+d'}}\quad \quad g(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$

sean $\ A,B$ las representaciones matriciales de $\ g,f$ respectivamente

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}\quad \quad B={\begin{bmatrix}a'&b'\\c'&d'\\\end{bmatrix}}$

entonces

$BA={\begin{bmatrix}a'&b'\\c'&d'\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a'a+b'c&c'a+d'c\\a'b+b'd&c'b+d'd\\\end{bmatrix}}$

entonces

$gf={\frac {(a'a+b'c)z+(c'a+d'c)}{(a'b+b'd)z+(c'b+d'd)}}$

los elementos de la matriz BA son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto gf es biyectiva y de Möbius.

Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que gf es continua y que

${\frac {1}{gf}}={\frac {(a'b+b')z+(c'b+d'd)}{(a'a+b'c)z+(c'a+d'c)}}$

tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.

--Wendy 04:26 18 oct 2009 (UTC)

12.¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion $\quad z\rightarrow {\frac {1}{z}}$ ?

SOLUCIÓN:

para la imagen notemos que $\quad z\rightarrow {\frac {1}{z}}$ es continua exepto cuando $\ z=0$, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.

--Wendy 04:26 18 oct 2009 (UTC)

5.Demuestre que las transformaciones de Möbius son transitivas en ternas de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre una función de Möbius que la mande en 1, 0 e $o\!o$

 Considere