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== EJERCICIOS 1.2.2 == | |||
'''4.'''Demuestre que si ''AB'' son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius ''f,g'', respectivamente, entonces la matriz ''BA'' representa la composicion ''gf'', que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo. | |||
SOLUCION: | |||
tenemos que <math>\ f, g </math> son transformaciones de Möbius | |||
<math>f(z)=\frac{a' z + b'}{c' z + d'}\quad\quad g(z)=\frac{a z + b}{c z + d}</math> | |||
sean <math>\ A, B </math> las representaciones matriciales de <math>\ g, f </math> respectivamente | |||
<math>A = \begin{bmatrix} | |||
a & b \\ | |||
c & d \\ | |||
\end{bmatrix} \quad \quad B = \begin{bmatrix} | |||
a' & b' \\ | |||
c' & d' \\ | |||
\end{bmatrix}</math> | |||
entonces | |||
<math>BA = \begin{bmatrix} | |||
a' & b' \\ | |||
c' & d' \\ | |||
\end{bmatrix}\begin{bmatrix} | |||
a & b \\ | |||
c & d \\ | |||
\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} | |||
a'a + b'c & c'a + d'c \\ | |||
a'b + b'd & c'b + d'd \\ | |||
\end{bmatrix}</math> | |||
entonces | |||
<math>gf=\frac{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}{(a'b + b'd)z + (c'b + d'd)}</math> | |||
los elementos de la matriz ''BA'' son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto ''gf'' es biyectiva y de Möbius. | |||
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que ''gf'' es continua y que | |||
<math>\frac{1}{gf}=\frac{(a'b + b')z + (c'b + d'd)}{(a'a + b'c)z + (c'a + d'c)}</math> | |||
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua. | |||
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC) | |||
'''12.'''¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> ? | |||
SOLUCIÓN: | |||
para la imagen notemos que <math>\quad z\rightarrow \frac{1}{z}</math> es continua exepto cuando <math>\ z=0</math>, por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen. | |||
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 04:26 18 oct 2009 (UTC) |
Revisión del 23:26 17 oct 2009
EJERCICIOS 1.2.1
1.Demuestre que una una funcion es continua en si y soló si para toda sucesión tal que cuando se tiene cuando
DEMO:
Supongamos que es continua en , es decir:
tal que
y supongamos que es una sucesión en tal que
P.D.
como es continua en
--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)
2.Demuestre que una sucesión en es de Cauchy si y sólo es convergente.
DEMO:
Una sucesión en se dice que es de Cauchy si para todo tal que .
P.D.
Si la sucesión es convergente, esto es si
tal que
si se tiene que
--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)
EJERCICIOS 1.2.2
4.Demuestre que si AB son matrices que representan (de la manera obvia) dos transformaciones de Möbius f,g, respectivamente, entonces la matriz BA representa la composicion gf, que también es de Möbius.Concluya mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera en sí misma, y que ademas constituyen un grupo.
SOLUCION:
tenemos que son transformaciones de Möbius
sean las representaciones matriciales de respectivamente
entonces
entonces
los elementos de la matriz BA son elementos de funciones biyectivas, entonces dicha matriz también es biyectiva, y por lo tanto gf es biyectiva y de Möbius.
Por ser de Möbius es meromorfa, ahora notemos que gf es continua y que
tambien es continua por lo que concluimos que es bicontinua.
--Wendy 04:26 18 oct 2009 (UTC)
12.¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la funcion ?
SOLUCIÓN:
para la imagen notemos que es continua exepto cuando , por lo que su imagen es todo el plano complejo exepto el origen.
--Wendy 04:26 18 oct 2009 (UTC)