Compleja:ej-cap1.2

EJERCICIOS 1.2.1

1.Demuestre que una una funcion $f:A\subset \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ es continua en ${z_{0}}\in A$ si y soló si para toda sucesión ${z_{n}},n\in \mathbb {N} ,$ tal que ${z_{n}}\rightarrow {z_{0}}$ cuando $n\rightarrow \infty ,$ se tiene $f(z_{n})\rightarrow f(z_{0}),$ cuando$n\rightarrow \infty .$

DEMO:

Supongamos que $\ f$ es continua en $\ z_{0}$ , es decir:

$\forall \epsilon >0,\quad \exists \delta =\delta (\epsilon )>0$

tal que $\quad |z-z_{0}|<\delta \Rightarrow |f(z)-f(z_{0})|<\epsilon$

y supongamos que $\lbrace z_{n}\rbrace ,n\in \mathbb {N}$ es una sucesión en $\ A$ tal que ${z_{n}}\rightarrow {z_{0}}$

P.D.

$f(z_{n})\rightarrow f(z_{0})$

$\forall \epsilon >0,\quad \exists N=N(\epsilon )\in \mathbb {N} ,\quad n\geq N\Rightarrow |f(z_{n})-f(z_{0})|<\epsilon$

como $\ f$ es continua en $\ z_{0}$

$\Rightarrow \exists \delta =\delta (\epsilon )>0$

$\Rightarrow z_{n}\rightarrow z_{0}$

$\Rightarrow \exists M=M(\epsilon )\in \mathbb {N} ,\quad n\geq M\Rightarrow |z_{n}-z_{0}|<\delta$

$\therefore |f(z_{n})-f(z_{0})|<\epsilon$

$\therefore f(z_{n})\rightarrow f(z_{0})\quad \square$

--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)

2.Demuestre que una sucesión $\ \lbrace a_{n}\rbrace$ en $\mathbb {R} ^{n}$ es de Cauchy si y sólo es convergente.

DEMO:

Una sucesión en $\mathbb {R} ^{n}$ se dice que es de Cauchy si para todo $\epsilon >0,\quad \exists N=N(\epsilon )\in \mathbb {N}$ tal que $|a_{m}-a_{n}|<\epsilon ,\quad \forall m,n\geq N$ .

P.D.

Si la sucesión es convergente, esto es si $\lim {a_{n}}=L\quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon >0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon )\in \mathbb {N}$

tal que $|a_{n}-L|<{\frac {\epsilon }{2}}\quad ,\quad \forall n\geq N$

$\Rightarrow$ si $m,n\geq N,$ se tiene que

$\ |a_{m}-a_{n}|=|a_{m}-L+L-a_{n}|\leq |a_{m}-L|+|L-a_{n}|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}\!=\!{\epsilon }$

$\therefore \lbrace a_{n}\rbrace \quad es\quad de\quad Cauchy.\quad \square$

--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)