Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.2»
(Página nueva: categoría:Compleja categoría:Cursos) |
|||
| Línea 1: | Línea 1: | ||
| + | [[categoría:Compleja]] | ||
| + | [[categoría:Cursos]] | ||
| + | |||
| + | ==EJERCICIOS 1.2.1 == | ||
| + | |||
| + | '''1.'''Demuestre que una una funcion <math>f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} </math> es continua en <math>{z_0}\in A</math> si y soló si para toda sucesión <math>{z_n},n\in\mathbb{N}, </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> cuando <math>n\rightarrow\infty,</math> se tiene <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0),</math> cuando<math>n\rightarrow \infty.</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | DEMO: | ||
| + | |||
| + | Supongamos que <math> \ f | ||
| + | </math> es continua en <math>\ z_0 </math> , es decir: | ||
| + | |||
| + | <math>\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 </math> | ||
| + | |||
| + | tal que <math>\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon </math> | ||
| + | |||
| + | y supongamos que <math>\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} </math> es una sucesión en <math>\ A </math> tal que <math>{z_n}\rightarrow {z_0}</math> | ||
| + | |||
| + | P.D. | ||
| + | <math>f(z_n)\rightarrow f(z_0)</math> | ||
| − | [[ | + | <math>\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon </math> |
| − | [[ | + | |
| + | |||
| + | como <math>\ f</math> es continua en <math>\ z_0</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0</math> | ||
| + | |||
| + | <math>\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 </math> | ||
| + | |||
| + | <math>\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square </math> | ||
| + | |||
| + | --[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC) | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | '''2.'''Demuestre que una sucesión <math> \ \lbrace a_n \rbrace</math> en <math>\mathbb R^n </math> es de ''Cauchy'' si y sólo es convergente. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | DEMO: | ||
| + | |||
| + | Una sucesión en <math>\mathbb R^n </math> se dice que es de ''Cauchy'' si para todo <math>\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N </math> tal que <math>|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N</math> '''.''' | ||
| + | |||
| + | |||
| + | P.D. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Si la sucesión es convergente, esto es si <math>\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | tal que <math>|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N</math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>\Rightarrow </math> si <math>m,n\geq N ,</math> se tiene que | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math>\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square </math> | ||
| + | |||
| + | --[[Usuario:Luis Antelmo|Luis Antelmo]] 23:52 10 oct 2009 (UTC) | ||
Revisión del 18:52 10 oct 2009
EJERCICIOS 1.2.1
1.Demuestre que una una funcion \(f:A\subset\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} \) es continua en \({z_0}\in A\) si y soló si para toda sucesión \({z_n},n\in\mathbb{N}, \) tal que \({z_n}\rightarrow {z_0}\) cuando \(n\rightarrow\infty,\) se tiene \(f(z_n)\rightarrow f(z_0),\) cuando\(n\rightarrow \infty.\)
DEMO:
Supongamos que \( \ f \) es continua en \(\ z_0 \) , es decir\[\forall \epsilon > 0,\quad\exists \delta = \delta(\epsilon)> 0 \]
tal que \(\quad | z - z_0 |<\delta \Rightarrow | f(z) - f(z_0) |<\epsilon \)
y supongamos que \(\lbrace z_n \rbrace , n\in \mathbb{N} \) es una sucesión en \(\ A \) tal que \({z_n}\rightarrow {z_0}\)
P.D.
\(f(z_n)\rightarrow f(z_0)\)
\(\forall \epsilon > 0,\quad \exists N = N(\epsilon)\in \mathbb N ,\quad n\geq N \Rightarrow | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon \)
como \(\ f\) es continua en \(\ z_0\)
\(\Rightarrow \exists\delta = \delta(\epsilon)>0\)
\(\Rightarrow z_n \rightarrow z_0 \)
\(\Rightarrow \exists M = M(\epsilon) \in \mathbb N, \quad n \geq M \Rightarrow | z_n - z_0 |< \delta \)
\(\therefore | f(z_n) - f(z_0) |<\epsilon\)
\(\therefore f(z_n) \rightarrow f(z_0)\quad \square \)
--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)
2.Demuestre que una sucesión \( \ \lbrace a_n \rbrace\) en \(\mathbb R^n \) es de Cauchy si y sólo es convergente.
DEMO:
Una sucesión en \(\mathbb R^n \) se dice que es de Cauchy si para todo \(\epsilon >0 ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in \mathbb N \) tal que \(|a_m - a_n|<\epsilon , \quad \forall m,n \geq N\) .
P.D.
Si la sucesión es convergente, esto es si \(\lim {a_n}=L \quad \Rightarrow \quad \forall \epsilon > 0\quad ,\quad \exists N=N(\epsilon)\in\mathbb N \)
tal que \(|a_n - L|<\frac{\epsilon}{2}\quad, \quad \forall n\geq N\)
\(\Rightarrow \) si \(m,n\geq N ,\) se tiene que
\(\ |a_m - a_n|=|a_m - L +L - a_n| \leq |a_m - L| + | L - a_n|< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}\!=\!{\epsilon} \)
\(\therefore \lbrace a_n \rbrace \quad es \quad de \quad Cauchy.\quad \square \)
--Luis Antelmo 23:52 10 oct 2009 (UTC)
