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  '''4. Describir la ecuación de la hipérbola en lenguaje de números complejos.(Este ejercicio no forma parte de los EJERCICICIOS 1.1.4 de CURSO BÁSICO DE VARIABLE COMPLEJA, a sido agregado a está sección porque este tema forma parte de ella.
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  '''4. Describir la ecuación de la hipérbola en lenguaje de números complejos.(Este ejercicio no forma parte de los EJERCICICIOS 1.1.4 de CURSO BÁSICO DE VARIABLE COMPLEJA, a sido agregado a está sección porque este tema forma parte de ella.'''
  
 
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico
 
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico
formado por un conjunto de puntos <math>z\,</math>, en el plano <math>ReIm\,</math>; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias <math>|z-w_1|-|z-w_2|\,</math>, a dos puntos fijos llamados focos<math>w_1\,</math> y <math>w_2\,</math>, es una costante positiva igual al doble de la distancia (osea 2l) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.<math>\left\{z \epsilon  \mathbb{C}\text{  }| |z-w_1|-\left|z-w_2\right|=\text{2l$\}$}\right.\,</math> (vease fig. 1.1).
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formado por un conjunto de puntos <math>z\,</math>, en el plano <math>ReIm\,</math>; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias <math>|z-w_1|-|z-w_2|\,</math>, a dos puntos fijos llamados focos<math>w_1\,</math> y <math>w_2\,</math>, es una costante positiva igual al doble de la distancia (osea 2l) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal. (vease fig. 1.1).
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Revisión del 18:04 17 oct 2010

SECCION 1.1.4

1. Demuestre que:


\( \begin{align}\left | \textstyle \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} \right | ^2 = \left (\sum_{k=1}^n \left| Z_{k} \right|^2 \right) \left(\sum_{k=1}^n \left| W_{k} \right|^2 \right) -\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2. \qquad (I)\\ \end{align} \)


Se conoce como igualdad de Lagrange


Solución.


Esta demostración se hará por inducción, es decir, empezaremos suponiendo que el elemento \( n-1\) se encuentra en el conjunto, pues entonces el resultado implica que el elemento \(n\) esta en el conjunto.


Sea \(\eth=\left\{ \omega\in\mathbb{N\,}tal\, que\left(I\right)\, se\, cumpla\right\} \)


Supongamos que \(n-1\) esta en \(\eth\) , es decir,

\(\begin{align} \left| \textstyle \sum_{k=1}^ {n-1} Z_{k}W_{k} \right|= \left(\sum_{k=1}^ {n-1} \left|Z_{k} \right| ^{2}\right) \left (\sum_{l=1}^ {n-1} \left|W_{l}\right|^{2}\right)-\sum_{1<j<k<n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^{2} \qquad (i)\\ \end{align} \)


Tenemos que:


\(\begin{align} \aleph=\left(\sum_{k=1}^n \left| Z_{k}\right| ^2\right) \left(\sum_{l=1}^n \left| W_{l}\right| ^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left| Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 \qquad (ii)\\ \end{align} \)


(recordemos algunas expresiones que no serán de utilidad en adelante ♠\(|Z_k-a\overline{W_k}|^2 = (Z_k-u\overline{W_k})(\overline{Z_k}-\overline{u}W_k)\);

♣\(\sum_{k=1}^n |Z_{k}|^2 = \sum_{k=1}^{n-1} |Z_{k}|^2 + |Z_{n}|^2\) en esta expresión se toma la suma de \( n-1\) terminos y adicionar el \(n-ésimo\) para tener el lado izquierdo de la expresión)



\(\begin{align} \aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left| Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left| W_{l}\right|^2+ \left|W_{n}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 \qquad (iii)\\ \end{align} \)


\(\begin{align} \aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 \right)+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2+ \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 -\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 \qquad (iv)\\ \end{align} \)



\(\begin{align} \aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right)\left(\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2+\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 \qquad (v)\\ \end{align} \)



(En la expresión \( iii\) se utilizó ♣ para posteriormente en \(iv \) hacer un poco de algebra y llegar a la expresión \(v\).)

Necesitamos saber si alguno de los elementos de la expresión \(v\) tiene parecido con algo conocido ó si se anulan entre si, es por eso que se desarrolla el 3er termino de la misma. Donde nuevamente se utiliza la idea de la expresión ♣ .



\(\begin{align} \sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 +\left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2 +..............+\left|Z_{1}\overline{W}_{n}-Z_{1}\overline{W}_{n}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{2}\right|^2+..........+ \left|Z_{n-1}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{n-1}\right|^2 \qquad (vi)\\ \end{align} \)


\(\begin{align} \sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 + \left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2+..........+\left|Z_{1}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{1}\right|^2 +..........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2+...........+\left|Z_{2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{n-2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{n-2}\right|^2 \qquad (vii)\\ \end{align} \)



Al comparar las expresiones \( vi\) con \(vii\) se observa que:


\(\begin{align} \sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j} \right|^2= \sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2 \qquad (viii)\\ \end{align} \)


(Observese bien que el segundo termino de lado derecho de la expresión \( viii\) son los \( n-esimos\) términos.)


Entonces si ahora utilizamos las expresiones \(viii\), \( I\) e \(i\) podemos re-escribir \(\aleph\) de la manera siguiente:



\(\begin{align} \aleph=\left|\sum_{k=1}^{n-1}Z_{k}W_{k}\right|^2-\sum_{j=1}^{n-1}\left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 \qquad (ix)\\ \end{align} \)



\(\begin{align} \aleph= \left(\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} - Z_{n}W_{n}\right) \left(\sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k} -\overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}\right) - \sum_{j=1}^{n-1} \left(Z_{j}\overline{W}_{n} - Z_{n}\overline{W}_{j}\right) \left(\overline{Z}_{j}W_{n} - \overline{Z}_{n}W_{j}\right) + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n} \right|^2\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 \qquad (x)\\ \end{align} \)



\(\begin{align} \aleph=\left|\sum_{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+ \left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - \left[\sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{j}W_{n}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n}W_{j}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}W_{n} + \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j} \overline{Z}_{n}W_{j}\right] + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l} \right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 \qquad (xi)\\ \end{align} \)


(En las expresiones \(ix ,x\) se utilizo ♠ y ♣ mas un poco de álgebra)


\(\begin{align} \aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k} \overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - W_{n}\overline{W}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{Z}_{j}+\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-Z_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} W_{j}\overline{W}_{j} + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 \qquad (xii)\\ \end{align} \)


\(\begin{align} \aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2- \left|W_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\right|^2 + \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|W_{j}\right|^2+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 \qquad (xiii)\\ \end{align} \)


(En \(xii, xiii\) recordamos que \(\overline{W_n}W_n = |Wn|^2\) , agrupamos términos y claro mas álgebra)



\(\begin{align} \aleph=\left| \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+ \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1}Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 \qquad (xiv)\\ \end{align} \)



\(\begin{align} \aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}Z_{n}W_{n}-Z_{n}W_{n} \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 \qquad (xv)\\ \end{align} \)



\(\begin{align} \aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 \qquad (xvi)\\ \end{align} \)



por lo tanto si \(n-1\) \(\in\) \(\eth\) \(\Longrightarrow\) \(n\in\) \(\eth\) .



--Dali 03:31 14 oct 2009 (UTC)










2.- Sean \(z_{1},z_{2},...,z_{n}\,\) numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que \(|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,\) ?


Si \(z_{1} = z_{2} = ... = z_{n}\,\), entonces


\(|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = n|z_{1}|\,\)


por otro lado


\(|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |nz_{1}| = n|z_{1}|\,\)


y por lo tanto


\(|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|\,\)


--Luis Nava 02:52 5 oct 2009 (UTC)



2.- Sean \(z_{1},z_{2},...,z_{n}\,\) numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que \(|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,\) ?


Vemos que esto es realmente una igualdad cuando los puntos \(z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\) son colineales.

Por demostrar que


\(\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\)


Para realizar esta demostración definiremos nuestros numeros en forma polar


\(z{}_{1}=r_{1}\exp\left[i\theta_{1}\right]\)

\(z{}_{2}=r_{2}\exp\left[i\theta_{2}\right]\)


Ahora sustuyendo esto en nuestra igualdad tenemos que\[\left|r_{1}\exp\left[i\theta_{1}\right]+r_{2}\exp\left[i\theta_{2}\right]\right|=\left|r_{1}\exp\left[i\theta_{1}\right]\right|+\left|r_{2}\exp\left[i\theta_{2}\right]\right|\]


Tamando la norma al cuadrado


\(\left|r_{1}\exp\left[i\theta_{1}\right]+r_{2}\exp\left[i\theta_{2}\right]\right|^{2}=\left(\left|r_{1}\exp\left[i\theta_{1}\right]\right|+\left|r_{2}\exp\left[i\theta_{2}\right]\right|\right)^{2}\)


Desarrollando temenos que


\(\left(r_{1}\exp\left[i\theta_{1}\right]+r_{2}\exp\left[i\theta_{2}\right]\right)\left(r_{1}\exp\left[-i\theta_{1}\right]+r_{2}\exp\left[-i\theta_{2}\right]\right)=\left(\left|r_{1}\exp\left[i\theta_{1}\right]\right|+\left|r_{2}\exp\left[i\theta_{2}\right]\right|\right)^{2}\)

\(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}\exp i\left[\theta_{1}-\theta_{2}\right]+r_{1}r_{2}\exp i\left[\theta_{2}-\theta_{1}\right]+r_{2}^{2}=r_{1}^{2}+2r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}\)


Simplificando un poco y factorizando \(r_{1}r_{2}\) del lado izquierdo llegamos a lo siguiente


\(r_{1}r_{2}\left(\exp i\left[\theta_{1}-\theta_{2}\right]+\exp i\left[\theta_{2}-\theta_{1}\right]\right)=2r_{1}r_{2}\)

\(\exp i\left[\theta_{1}-\theta_{2}\right]+\exp i\left[\theta_{2}-\theta_{1}\right]=2\)


Escribiendo estas exponenciales en terminos de senos y cosenos


\(\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+i\sin\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\cos\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)+i\sin\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)=2\)


Ya que la función \(\sin\) es impar


\(2\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)=2\)

\(\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)=1\)


Despejando \(\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\)


\(\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)=\arccos\left(1\right)\)


Entonces


\(\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)=k2\pi\) para \(k=0,1,2,...\)


\(\therefore\theta_{1}=\theta_{2}+k2\pi\)


Esto nos dice que esta igualdad solo se cumple cuando nuestros vectores son colineales, es decir son linealmente dependientes o uno de ellos es cero. Generalizando esto para n, suponemos que se cumple para n-1


\(\left|\left(z_{1}+z_{2}+...+z_{n-1}\right)+z_{n}\right|^{2}=\left(\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n-1}\right|+\left|z_{n}\right|\right)^{2}\)


Donde nuestros primeros n-1 terminos lo redefinimos como \(w_{1}\) y el n-esimo como \(w_{2}\)


\(\left|w_{1}+w_{2}\right|^{2}=\left(\left|w_{1}\right|+\left|w_{2}\right|\right)^{2}\)


Y utlizamos el mismo razonamiento


Esto es muy claro ver cuando n=2, en una grafica.


Suma.gifSuma2.gif


Aquí les dejo el enlace de la pagina donde consulte el código para generar las graficas para los que les interese. Demostracion grafica


--Oscar Adrian 03:41 16 oct 2009 (UTC) --Oscar Adrian 03:07 6 oct 2009 (UTC)



3. Encuentre el ínfimo de \(\left | z^3 + 2 i \right |\) en la región \(\left \{ z \mid |z| \ge 2 \right \}\), y describa en qué puntos se alcanza.


Con una variante de la desigualdad del triángulo, tenemos que

\(\left | z^3 + i \right | \ge \left | |z|^3 -1 \right | \ge 8-1. \)

Por tanto,

\( 7 \le \left | z^3 + i \right |. \qquad (1) \)

Entonces, el ínfimo de la expresión es 7.

Por otro lado, tenemos que, si \(z = r \left ( cos \theta + 1 \sin \theta \right )\)

\( \begin{align} \left | z^3 + i \right | ^2 & = \left | r ^3 \left ( \cos 3\theta + i \sin 3\theta \right ) + 1 \right | ^2 \\ & = \left | r^3 \cos 3\theta + 1 + i r^3 \sin 3\theta \right | ^2 \\ & = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1. \\ \end{align} \)

Si tomamos la cota inferior, \(\left | z \right | = 2\), la expresión anterior es entonces:

\( \begin{align} \left | z^3 + i \right | ^2 & = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1 \\ & = 65 + 2 r^3 \cos 3\theta. \\ \end{align} \)

Ya que la función coseno tiene su mínimo en el valor -1, tomemos una \(\theta\) tal que \(\cos 3\theta [[:Plantilla:=]] -1\). Para este caso, tenemos dos valores\[\theta_1 [[:Plantilla:=]] \frac {\pi}{3}\] y \(\theta_2 [[:Plantilla:=]] \pi \),

de tal forma que, con estos valores,

\(\left | z^3 + i \right | ^2 = 65 - 16 = 49. \)

Con la fórmula de De Moivre, tenemos que el ínfimo de la expresión dada toma ese valor en \(z_1\) y \(z_2\) tales que

\( \begin{align} z_1 & = 2 \left ( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right ) \\ & = 2 \left ( \cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3} \right )\\ & = 2 \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\ z_1 & = 1 + i \sqrt{3}, \qquad (2)\\ \end{align} \)

y

\( \begin{align} z_2 & = 2 \left ( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right ) \\ & = 2 \left ( \cos \pi + i \sin \pi \right )\\ z_2 & = -2. \qquad (3)\\ \end{align} \)

Pero, además, por le geometría de los números complejos, tenemos otros dos valores \(z_3\) y \(z_4\) tales que

\( \begin{align} z_3 & = 2 \left ( \cos \theta_1+\pi + i \sin \theta_1+\pi \right ) \\ & = 2 \left ( \cos \frac {4\pi}{3} + i \sin \frac {4\pi}{3} \right )\\ & = 2 \left ( - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\ & = -1 - i \sqrt{3} \\ z_3 & = - z_1, \qquad (4)\\ \end{align} \)

y

\( \begin{align} z_4 & = 2 \left ( \cos \theta_2+\pi + i \sin \theta_2+\pi \right ) \\ & = 2 \left ( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right )\\ & = 2 \\ z_4 & = -z_2. \qquad (5)\\ \end{align} \)

Por tanto, las expresiones (2), (3), (4) y (5) nos proporcionan los valores en que el ínfimo es tomado, a saber, \(\pm (1 + i \sqrt{3})\) y \(\pm 2\).

--Belen 04:08 12 oct 2009 (UTC)


4. Describir la ecuación de la hipérbola en lenguaje de números complejos.(Este ejercicio no forma parte de los EJERCICICIOS 1.1.4 de CURSO BÁSICO DE VARIABLE COMPLEJA, a sido agregado a está sección porque este tema forma parte de ella.

Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos \(z\,\), en el plano \(ReIm\,\); tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias \(|z-w_1|-|z-w_2|\,\), a dos puntos fijos llamados focos\(w_1\,\) y \(w_2\,\), es una costante positiva igual al doble de la distancia (osea 2l) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal. (vease fig. 1.1).

280px-Hyperbola properties svg.png


Compleja:ej-cap1.2

Compleja:ej-cap1.3

Compleja:ej-cap1.4