SECCION 1.1.4
1. Demuestre que:
\(
\begin{align}\left | \textstyle \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} \right | ^2 = \left (\sum_{k=1}^n \left| Z_{k} \right|^2 \right) \left(\sum_{k=1}^n \left| W_{k} \right|^2 \right) -\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2. \qquad (I)\\
\end{align}
\)
Se conoce como igualdad de Lagrange
Solución.
Esta demostración se hará por inducción, es decir, empezaremos suponiendo que el elemento \( n-1\) se encuentra en el conjunto, pues entonces el resultado implica que el elemento \(n\) esta en el conjunto.
Sea \(\eth=\left\{ \omega\in\mathbb{N\,}tal\, que\left(I\right)\, se\, cumpla\right\}
\)
Supongamos que \(n-1\) esta en \(\eth\) , es decir,
\(\begin{align}
\left| \textstyle \sum_{k=1}^ {n-1} Z_{k}W_{k} \right|= \left(\sum_{k=1}^ {n-1} \left|Z_{k} \right| ^{2}\right) \left (\sum_{l=1}^ {n-1} \left|W_{l}\right|^{2}\right)-\sum_{1<j<k<n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^{2}
\qquad (i)\\
\end{align}
\)
Tenemos que:
\(\begin{align}
\aleph=\left(\sum_{k=1}^n \left| Z_{k}\right| ^2\right) \left(\sum_{l=1}^n \left| W_{l}\right| ^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left| Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2
\qquad (ii)\\
\end{align}
\)
(recordemos algunas expresiones que no serán de utilidad en adelante
♠\(|Z_k-a\overline{W_k}|^2 = (Z_k-u\overline{W_k})(\overline{Z_k}-\overline{u}W_k)\);
♣\(\sum_{k=1}^n |Z_{k}|^2 = \sum_{k=1}^{n-1} |Z_{k}|^2 + |Z_{n}|^2\) en esta expresión se toma la suma de \( n-1\) terminos y adicionar el \(n-ésimo\) para tener el lado izquierdo de la expresión)
\(\begin{align}
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left| Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left| W_{l}\right|^2+ \left|W_{n}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2
\qquad (iii)\\
\end{align}
\)
\(\begin{align}
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right) \left(\sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 \right)+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2+ \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2 -\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2
\qquad (iv)\\
\end{align}
\)
\(\begin{align}
\aleph= \left(\sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 \right)\left(\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 \right)-\sum_{1<j<k\leq n}\left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2+\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2
\qquad (v)\\
\end{align}
\)
(En la expresión \( iii\) se utilizó ♣ para posteriormente en \(iv
\) hacer un poco de algebra y llegar a la expresión \(v\).)
Necesitamos saber si alguno de los elementos de la expresión \(v\) tiene parecido con algo conocido ó si se anulan entre si, es por eso que se desarrolla el 3er termino de la misma.
Donde nuevamente se utiliza la idea de la expresión ♣ .
\(\begin{align}
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 +\left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2 +..............+\left|Z_{1}\overline{W}_{n}-Z_{1}\overline{W}_{n}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{2}\right|^2+..........+ \left|Z_{n-1}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{n-1}\right|^2
\qquad (vi)\\
\end{align}
\)
\(\begin{align}
\sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 = \left|Z_{1}\overline{W}_{2}-Z_{2}\overline{W}_{1}\right|^2 + \left|Z_{1}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{1}\right|^2+..........+\left|Z_{1}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{1}\right|^2 +..........+ \left|Z_{2}\overline{W}_{3}-Z_{3}\overline{W}_{2}\right|^2+...........+\left|Z_{2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{2}\right|^2 +...........+ \left|Z_{n-2}\overline{W}_{n-1}-Z_{n-1}\overline{W}_{n-2}\right|^2
\qquad (vii)\\
\end{align}
\)
Al comparar las expresiones \( vi\) con \(vii\) se observa que:
\(\begin{align}
\sum_{1<j<k\leq n} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j} \right|^2= \sum_{1<j<k\leq n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{k}-Z_{k}\overline{W}_{j}\right|^2 + \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2
\qquad (viii)\\
\end{align}
\)
(Observese bien que el segundo termino de lado derecho de la expresión \( viii\) son los \( n-esimos\) términos.)
Entonces si ahora utilizamos las expresiones \(viii\), \( I\) e \(i\) podemos re-escribir \(\aleph\) de la manera siguiente:
\(\begin{align}
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n-1}Z_{k}W_{k}\right|^2-\sum_{j=1}^{n-1}\left|Z_{j}\overline{W}_{n}-Z_{n}\overline{W}_{j}\right|^2 + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1}\left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2
\qquad (ix)\\
\end{align}
\)
\(\begin{align}
\aleph= \left(\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k} - Z_{n}W_{n}\right) \left(\sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k} -\overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}\right) - \sum_{j=1}^{n-1} \left(Z_{j}\overline{W}_{n} - Z_{n}\overline{W}_{j}\right) \left(\overline{Z}_{j}W_{n} - \overline{Z}_{n}W_{j}\right) + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 +\left|Z_{n} \right|^2\sum_{l=1}^{n-1}\left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2
\qquad (x)\\
\end{align}
\)
\(\begin{align}
\aleph=\left|\sum_{k=1}^{n}Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{l=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+ \left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - \left[\sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{j}W_{n}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n}W_{j}- \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}W_{n} + \sum_{j=1}^{n-1} Z_{n}\overline{W}_{j} \overline{Z}_{n}W_{j}\right] + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l} \right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2
\qquad (xi)\\
\end{align}
\)
(En las expresiones \(ix ,x\) se utilizo ♠ y ♣ mas un poco de álgebra)
\(\begin{align}
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k} \overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2 - W_{n}\overline{W}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}\overline{Z}_{j}+\overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1}\overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-Z_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} W_{j}\overline{W}_{j} + \left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2
\qquad (xii)\\
\end{align}
\)
\(\begin{align}
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2- \left|W_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|Z_{j}\right|^2 + \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1} Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}-\left|Z_{n}\right|^2 \sum_{j=1}^{n-1} \left|W_{j}\right|^2+\left|W_{n}\right|^2 \sum_{k=1}^{n-1} \left|Z_{k}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \sum_{l=1}^{n-1} \left|W_{l}\right|^2 + \left|Z_{n}\right|^2 \left|W_{n}\right|^2
\qquad (xiii)\\
\end{align}
\)
(En \(xii, xiii\) recordamos que \(\overline{W_n}W_n = |Wn|^2\) , agrupamos términos y claro mas álgebra)
\(\begin{align}
\aleph=\left| \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n} \sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}-Z_{n}W_{n} \sum_{k=1}^n \overline{Z}_{k}\overline{W}_{k}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+ \overline{W}_{n}\overline{Z}_{n} \sum_{j=1}^{n-1}Z_{j}W_{j}+W_{n}Z_{n} \sum_{j=1}^{n-1} \overline{W}_{j}\overline{Z}_{j}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2
\qquad (xiv)\\
\end{align}
\)
\(\begin{align}
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2 - \overline{Z}_{n} \overline{W}_{n}Z_{n}W_{n}-Z_{n}W_{n} \overline{Z}_{n}\overline{W}_{n}+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2+\left|Z_{n}W_{n}\right|^2
\qquad (xv)\\
\end{align}
\)
\(\begin{align}
\aleph=\left|\sum_{k=1}^n Z_{k}W_{k}\right|^2
\qquad (xvi)\\
\end{align}
\)
por lo tanto si \(n-1\) \(\in\) \(\eth\) \(\Longrightarrow\) \(n\in\) \(\eth\) .
--Dali 03:31 14 oct 2009 (UTC)
2.- Sean \(z_{1},z_{2},...,z_{n}\,\) numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que \(|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,\) ?
Si \(z_{1} = z_{2} = ... = z_{n}\,\), entonces
\(|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = n|z_{1}|\,\)
por otro lado
\(|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |nz_{1}| = n|z_{1}|\,\)
y por lo tanto
\(|z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}| = |z_{1}+z_{2}+...+z_{n}|\,\)
--Luis Nava 02:52 5 oct 2009 (UTC)
2.- Sean \(z_{1},z_{2},...,z_{n}\,\) numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que \(|z_{1}+z_{2}+...+z_{n}| = |z_{1}|+|z_{2}|+...+|z_{n}|\,\) ?
Vemos que esto es realmente una igualdad cuando los puntos \(z_{1}+z_{2}+...+z_{n}\) son colineales.
Por demostrar que
\(\left|z_{1}+z_{2}\right|=\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|\)
Para realizar esta demostración definiremos nuestros numeros en forma polar
\(z{}_{1}=r_{1}\exp\left[i\theta_{1}\right]\)
\(z{}_{2}=r_{2}\exp\left[i\theta_{2}\right]\)
Ahora sustuyendo esto en nuestra igualdad tenemos que\[\left|r_{1}\exp\left[i\theta_{1}\right]+r_{2}\exp\left[i\theta_{2}\right]\right|=\left|r_{1}\exp\left[i\theta_{1}\right]\right|+\left|r_{2}\exp\left[i\theta_{2}\right]\right|\]
Tamando la norma al cuadrado
\(\left|r_{1}\exp\left[i\theta_{1}\right]+r_{2}\exp\left[i\theta_{2}\right]\right|^{2}=\left(\left|r_{1}\exp\left[i\theta_{1}\right]\right|+\left|r_{2}\exp\left[i\theta_{2}\right]\right|\right)^{2}\)
Desarrollando temenos que
\(\left(r_{1}\exp\left[i\theta_{1}\right]+r_{2}\exp\left[i\theta_{2}\right]\right)\left(r_{1}\exp\left[-i\theta_{1}\right]+r_{2}\exp\left[-i\theta_{2}\right]\right)=\left(\left|r_{1}\exp\left[i\theta_{1}\right]\right|+\left|r_{2}\exp\left[i\theta_{2}\right]\right|\right)^{2}\)
\(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}\exp i\left[\theta_{1}-\theta_{2}\right]+r_{1}r_{2}\exp i\left[\theta_{2}-\theta_{1}\right]+r_{2}^{2}=r_{1}^{2}+2r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}\)
Simplificando un poco y factorizando \(r_{1}r_{2}\) del lado izquierdo llegamos a lo siguiente
\(r_{1}r_{2}\left(\exp i\left[\theta_{1}-\theta_{2}\right]+\exp i\left[\theta_{2}-\theta_{1}\right]\right)=2r_{1}r_{2}\)
\(\exp i\left[\theta_{1}-\theta_{2}\right]+\exp i\left[\theta_{2}-\theta_{1}\right]=2\)
Escribiendo estas exponenciales en terminos de senos y cosenos
\(\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+i\sin\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\cos\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)+i\sin\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)=2\)
Ya que la función \(\sin\) es impar
\(2\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)=2\)
\(\cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)=1\)
Despejando \(\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\)
\(\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)=\arccos\left(1\right)\)
Entonces
\(\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)=k2\pi\) para \(k=0,1,2,...\)
\(\therefore\theta_{1}=\theta_{2}+k2\pi\)
Esto nos dice que esta igualdad solo se cumple cuando nuestros vectores son colineales, es decir son linealmente dependientes o uno de ellos es cero.
Generalizando esto para n, suponemos que se cumple para n-1
\(\left|\left(z_{1}+z_{2}+...+z_{n-1}\right)+z_{n}\right|^{2}=\left(\left|z_{1}+z_{2}+...+z_{n-1}\right|+\left|z_{n}\right|\right)^{2}\)
Donde nuestros primeros n-1 terminos lo redefinimos como \(w_{1}\) y el n-esimo como \(w_{2}\)
\(\left|w_{1}+w_{2}\right|^{2}=\left(\left|w_{1}\right|+\left|w_{2}\right|\right)^{2}\)
Y utlizamos el mismo razonamiento
Esto es muy claro ver cuando n=2, en una grafica.
Aquí les dejo el enlace de la pagina donde consulte el código para generar las graficas para los que les interese.
Demostracion grafica
--Oscar Adrian 03:41 16 oct 2009 (UTC)
--Oscar Adrian 03:07 6 oct 2009 (UTC)
3. Encuentre el ínfimo de \(\left | z^3 + 2 i \right |\) en la región \(\left \{ z \mid |z| \ge 2 \right \}\), y describa en qué puntos se alcanza.
Con una variante de la desigualdad del triángulo, tenemos que
\(\left | z^3 + i \right | \ge \left | |z|^3 -1 \right | \ge 8-1. \)
Por tanto,
\( 7 \le \left | z^3 + i \right |. \qquad (1) \)
Entonces, el ínfimo de la expresión es 7.
Por otro lado, tenemos que, si \(z = r \left ( cos \theta + 1 \sin \theta \right )\)
\(
\begin{align}
\left | z^3 + i \right | ^2 & = \left | r ^3 \left ( \cos 3\theta + i \sin 3\theta \right ) + 1 \right | ^2 \\
& = \left | r^3 \cos 3\theta + 1 + i r^3 \sin 3\theta \right | ^2 \\
& = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1. \\
\end{align}
\)
Si tomamos la cota inferior, \(\left | z \right | = 2\), la expresión anterior es entonces:
\(
\begin{align}
\left | z^3 + i \right | ^2 & = r^6 + 2 r^3 \cos 3\theta + 1 \\
& = 65 + 2 r^3 \cos 3\theta. \\
\end{align}
\)
Ya que la función coseno tiene su mínimo en el valor -1, tomemos una \(\theta\) tal que \(\cos 3\theta [[:Plantilla:=]] -1\). Para este caso, tenemos dos valores\[\theta_1 [[:Plantilla:=]] \frac {\pi}{3}\] y \(\theta_2 [[:Plantilla:=]] \pi \),
de tal forma que, con estos valores,
\(\left | z^3 + i \right | ^2 = 65 - 16 = 49. \)
Con la fórmula de De Moivre, tenemos que el ínfimo de la expresión dada toma ese valor en \(z_1\) y \(z_2\) tales que
\(
\begin{align}
z_1 & = 2 \left ( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right ) \\
& = 2 \left ( \cos \frac {\pi}{3} + i \sin \frac {\pi}{3} \right )\\
& = 2 \left ( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\
z_1 & = 1 + i \sqrt{3}, \qquad (2)\\
\end{align}
\)
y
\(
\begin{align}
z_2 & = 2 \left ( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right ) \\
& = 2 \left ( \cos \pi + i \sin \pi \right )\\
z_2 & = -2. \qquad (3)\\
\end{align}
\)
Pero, además, por le geometría de los números complejos, tenemos otros dos valores \(z_3\) y \(z_4\) tales que
\(
\begin{align}
z_3 & = 2 \left ( \cos \theta_1+\pi + i \sin \theta_1+\pi \right ) \\
& = 2 \left ( \cos \frac {4\pi}{3} + i \sin \frac {4\pi}{3} \right )\\
& = 2 \left ( - \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) \\
& = -1 - i \sqrt{3} \\
z_3 & = - z_1, \qquad (4)\\
\end{align}
\)
y
\(
\begin{align}
z_4 & = 2 \left ( \cos \theta_2+\pi + i \sin \theta_2+\pi \right ) \\
& = 2 \left ( \cos 2\pi + i \sin 2\pi \right )\\
& = 2 \\
z_4 & = -z_2. \qquad (5)\\
\end{align}
\)
Por tanto, las expresiones (2), (3), (4) y (5) nos proporcionan los valores en que el ínfimo es tomado, a saber, \(\pm (1 + i \sqrt{3})\) y \(\pm 2\).
--Belen 04:08 12 oct 2009 (UTC)
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