Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.1.3»
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Entonces utilizando la | Entonces utilizando la [[Compleja:Identidades_trigonometricas|Fórmula de Moivre]] para obtener las raíces | ||
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Sea | Sea | ||
<math>\left(1-Z\right){\displaystyle {\scriptscriptstyle {\displaystyle \sum_{K=0}^{n}z^{k}=}}\sum_{k=0}^{n}z^{k}-\sum_{k=0}^{n}z^{k+1}=1+\sum_{k=1}^{n}z^{k}-\sum_{k=1}^{n}z^{k}-z^{n+1}=1-z^{n+1}}</math> | <math>\left(1-Z\right){\displaystyle {\scriptscriptstyle {\displaystyle \sum_{K=0}^{n}z^{k}=}}\sum_{k=0}^{n}z^{k}-\sum_{k=0}^{n}z^{k+1}=1+\sum_{k=1}^{n}z^{k}-\sum_{k=1}^{n}z^{k}-z^{n+1}=1-z^{n+1}}</math> | ||
y como <math>z\neq1</math>..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera | y como <math>z\neq1</math>..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera | ||
<math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}z^{k}=\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}}</math> | <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}z^{k}=\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}}</math> | ||
Sea <math>\theta\in\left(0,2\Pi\right)</math>, aplicando & con <math>z=e^{i\theta}\in c/\{1\}</math> | Sea <math>\theta\in\left(0,2\Pi\right)</math>, aplicando & con <math>z=e^{i\theta}\in c/\{1\}</math> | ||
se tiene lo siguiente | se tiene lo siguiente | ||
'''<math> | '''<math> | ||
{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}=\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math>''' | {\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}=\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math>''' | ||
y tomamos partes reales obtenemos | y tomamos partes reales obtenemos | ||
<math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta= | <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=Re\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math> .............% | ||
desarrolandola se tiene : | desarrolandola se tiene : | ||
<math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta= | <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=Re\dfrac{\left[1-e^{i\left(n+1\right)\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}{\left[1-e^{i\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}}</math>=<math>\dfrac{1-\cos\theta+\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-cos\theta\right)}</math> =<math>\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}</math>. | ||
Con lo cual solo basta probar que | Con lo cual solo basta probar que | ||
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Veamos la demostracion | Veamos la demostracion | ||
<math>\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}=\dfrac{\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]}{2\sin\frac{\theta}{2}}\Longleftrightarrow</math> | <math>\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}=\dfrac{\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]}{2\sin\frac{\theta}{2}}\Longleftrightarrow</math> | ||
<math>\left(\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]\Longleftrightarrow</math> | |||
<math>\left(\cos n\theta-\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\left(\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}+\cos n\theta\sin{\theta\atop 2}\right)\Longleftrightarrow</math> | |||
<math>\sin n\theta\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}-\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}\cos\theta</math>..............# | <math>\sin n\theta\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}-\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}\cos\theta</math>..............# | ||
Revisión del 21:34 27 nov 2010
SECCION 1.1.3
1. Calcule las raìces cuadradas de y de .
Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right) si
Por lo tanto las raices de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 3+4i
, son:
y para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 1+2i
, son:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =\pm\left(\sqrt{1.61} + i\sqrt{0.61}\right)
--Josua Da Vinci 23:44 30 sep 2009 (UTC)
REVISADO
2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i
Tenemos que definicion en forma polar
r=64
n=6 porque nos piden las raíces sextas
Entonces el argumento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\theta}=\pi
Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x+iy=re^{i\boldsymbol{\theta}}
Entonces utilizando la Fórmula de Moivre para obtener las raíces
Ahora tenemos
y g= raíz enesima = = 2
y los es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): 2\pi entonces sacando las raíces
k=0
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\theta}=\pi / 6 + 2\pi / 6 = 3\pi / 6 k=1
k=2
k=3
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\theta}=\pi/6+2(4)\pi/6= 9\pi/6 k=4
k=5
Las soluciones son
r1= 2 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i( \pi/6)}
r2= 2 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i( 3\pi/6)}
r3= 2 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i( 5\pi/6)}
r4= 2 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i( 7\pi/6)}
r5= 2
r6= 2 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i( 11\pi/6)}
Graficando en coordenadas polares nos queda:
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos
el argumento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\theta}=\pi/2
r= 8
n=3 porque nos pinden las raíces cubicas
y g= raíz enesima = = 2
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\phi} = \boldsymbol{\theta}+2k\pi =\pi/6 k=0
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \boldsymbol{\phi}=\pi/6+2\pi/3= 5\pi/6 k=1
k=2
r1= 2
r2= 2
r3= 2 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{i( 9\pi/6)}
Graficando en coordenadas polares tenemos
--Karla 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i
Sea
Por la Fórmula de Moivre
para k = 0,1,2,3,4,5
Evaluando k se obtiene
con k = 0
con k = 1
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w_{1} = 2(cos(\frac{\pi+2\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+2\pi}{6})) = 2(cos(\frac{\pi}{2}) + isen(\frac{\pi}{2})) = 2i
con k = 2
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w_{2} = 2(cos(\frac{\pi+4\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+4\pi}{6})) = 2(cos(\frac{5\pi}{6}) + isen(\frac{5\pi}{6})) = -\sqrt{3} + i
con k = 3
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): w_{3} = 2(cos(\frac{\pi+6\pi}{6}) + isen(\frac{\pi+6\pi}{6})) = 2(cos(\frac{7\pi}{6}) + isen(\frac{7\pi}{6})) = -\sqrt{3} - i
con k = 4
con k = 5
..............
Sea
para k = 0,1,2
Evaluando a k se obtiene
con k = 0
con k = 1
con k = 2
--Luis Nava 21:07 3 oct 2009 (UTC)
3. Demuestre que donde z es una raíz n-ésima de la unidad,
Sea
Ahora multiplicamos ambos lados por Z
Restando la segunda ecuación de la primera
Tenemos que
entonces
De donde
Como z es una raíz enesima de la unidad
Entonces
y
porque
Por lo tanto
--Ralf Gutierrez 22:00 2 oct 2009 (UTC)
4. Demuestre que:
Sugerencia: Factoriza la expresión usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en .
Solución:
Las raices de son
entonces podemos escribir
dividiendo ambos lados por y haciendo :
de aqui hallamos que
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que
tenemos
puesto que
la ecuación anterior se transforma en
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:
lo que queda demostrada la igualdad. --Wendy 23:10 4 oct 2009 (UTC)
5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Esta identidad se le atribuye a Lagrange.
Sugerencia: calcular la parte real de
, donde .
Solucion.
Sea
si multiplicamos por a se tiene que
ahora restemos estas dos ultimas expresiones
de lo que se obtiene que
Si en esta última expresion utilizamos entonces
toma la siguiente forma
que es equivalente a esta
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:
Se obtiene del numerador lo siguiente
si tomamos solo la parte real se tiene que
por otra parte para el denominador se tiene:
al tomar la parte real de
,
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente identidad
tenemos lo siguiente:
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.
--Dali 00:01 5 oct 2009 (UTC)
- OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5
5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Esta identidad se le atribuye a Lagrange.
Sugerencia: calcular la parte real de
, donde .
Solucion.
Sea
y como ..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera
Sea , aplicando & con se tiene lo siguiente
y tomamos partes reales obtenemos .............%
desarrolandola se tiene :
= =.
Con lo cual solo basta probar que
Veamos la demostracion
..............#
Si la igualdad # es cierta. Si no, es equivalente a
.
Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que
.--Diana Rodriguez Almaraz. 04:47 15 oct 2010 (UTC)
- DEMOSTRACION ALTERNATIVA DEL EJERCICIO 5 CAP 1.1.3
5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Sea
La expresión la podemos expresar como una suma geométrica
Esta serie converge a la expresión:
Como nos interesa solamente la parte real de la expresíon omitimos la parte imaginaria.
Reescribiendo la parte real y sabiendo que
Ahora bien, por la identidad
Con
Podemos reescrbir la expresión, para la sumas de senos y cosenos del numerador como:
Por último simplificando términos y reacomodando, llegamos al resultado
--Carlos López Cobá 06:20 26 oct 2010 (UTC)
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