Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.1.3»

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Sin resumen de edición
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Línea 527: Línea 527:
Esta serie converge a la expresión:
Esta serie converge a la expresión:


<math>i\sin k\theta+\cos\dfrac{n\theta}{2}+\csc\dfrac{\theta}{2}\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]</math>
<math>i\sin k\theta+\cos\dfrac{n\theta}{2}\csc\dfrac{\theta}{2}\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]</math>


Como nos interesa solamente la parte real de la expresíon omitimos la parte imaginaria.
Como nos interesa solamente la parte real de la expresíon omitimos la parte imaginaria.


<math>Re[i\sin k\theta+\cos\dfrac{n\theta}{2}+\csc\dfrac{\theta}{2}\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]=\cos\dfrac{n\theta}{2}+\csc\dfrac{\theta}{2}\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]</math>
<math>Re[i\sin k\theta+\cos\dfrac{n\theta}{2}\csc\dfrac{\theta}{2}\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]=\cos\dfrac{n\theta}{2}+\csc\dfrac{\theta}{2}\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]</math>


Reescribiendo la parte real y sabiendo que <math>\csc x=\dfrac{1}{\sin x}</math>
Reescribiendo la parte real y sabiendo que <math>\csc x=\dfrac{1}{\sin x}</math>


<math>\cos\dfrac{n\theta}{2}+\csc\dfrac{\theta}{2}\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]=\dfrac{\cos\dfrac{n\theta}{2}+\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]}{\sin\dfrac{\theta}{2}}</math>
<math>\cos\dfrac{n\theta}{2}\csc\dfrac{\theta}{2}\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]=\dfrac{\cos\dfrac{n\theta}{2}+\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]}{\sin\dfrac{\theta}{2}}</math>


Ahora bien, por la identidad
Ahora bien, por la identidad
Línea 544: Línea 544:
Podemos reescrbir la expresión, para la sumas de senos y cosenos del numerador como:
Podemos reescrbir la expresión, para la sumas de senos y cosenos del numerador como:


<math>\dfrac{1}{2}\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]+\sin\dfrac{\theta}{2}</math>
<math>\dfrac{1}{2}[\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]+\sin\dfrac{\theta}{2}]</math>


Por último simplificando términos y reacomodando, llegamos al resultado
Por último simplificando términos y reacomodando, llegamos al resultado

Revisión del 00:41 28 oct 2010

SECCION 1.1.3

1. Calcule las raìces cuadradas de y de .


Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.

si


Por lo tanto las raices de , son:





y para , son:





--Josua Da Vinci 23:44 30 sep 2009 (UTC)


REVISADO

2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i

Tenemos que definicion en forma polar

Demo2.jpg

r=64

n=6 porque nos piden las raíces sextas

Entonces el argumento


Si


Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces


Ahora tenemos

y g= raíz enesima = = 2

y los es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de entonces sacando las raíces

k=0

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

Las soluciones son

r1= 2

r2= 2

r3= 2

r4= 2

r5= 2

r6= 2

Graficando en coordenadas polares nos queda:

Archivo:POLIGONO2.jpg

Haciendo algo similar para el 8i Tenemos


Archivo:DEMO3.jpg

el argumento

r= 8

n=3 porque nos pinden las raíces cubicas

y g= raíz enesima = = 2

k=0

k=1

k=2

r1= 2

r2= 2

r3= 2


Graficando en coordenadas polares tenemos


RAICES.jpg



--Karla 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez




2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i


Sea


Por la formula de De Moivre


para k = 0,1,2,3,4,5


Evaluando k se obtiene


con k = 0

con k = 1

con k = 2

con k = 3

con k = 4

con k = 5


..............


Sea


para k = 0,1,2


Evaluando a k se obtiene


con k = 0

con k = 1

con k = 2


--Luis Nava 21:07 3 oct 2009 (UTC)



3. Demuestre que donde z es una raíz n-ésima de la unidad,


Sea

Ahora multiplicamos ambos lados por Z

Restando la segunda ecuación de la primera

Tenemos que

entonces

De donde

Como z es una raíz enesima de la unidad




Entonces


y


porque


Por lo tanto




--Ralf Gutierrez 22:00 2 oct 2009 (UTC)



4. Demuestre que:

Sugerencia: Factoriza la expresión usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en .

Solución:

Las raices de son

entonces podemos escribir

dividiendo ambos lados por y haciendo :

de aqui hallamos que

tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)

Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que

tenemos

puesto que

la ecuación anterior se transforma en

despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:

lo que queda demostrada la igualdad. --Wendy 23:10 4 oct 2009 (UTC)



5. Demuestre que

,

donde no es un multiplo par de .


Esta identidad se le atribuye a Lagrange.


Sugerencia: calcular la parte real de


, donde .


Solucion.

Sea

si multiplicamos por a se tiene que


ahora restemos estas dos ultimas expresiones


de lo que se obtiene que



Si en esta última expresion utilizamos entonces



toma la siguiente forma



que es equivalente a esta



Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:



Se obtiene del numerador lo siguiente



si tomamos solo la parte real se tiene que




por otra parte para el denominador se tiene:




al tomar la parte real de


,


sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente identidad




tenemos lo siguiente:



Lo cual es casi a lo que se queria llegar.


--Dali 00:01 5 oct 2009 (UTC)

OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5

5. Demuestre que

,

donde no es un multiplo par de .


Esta identidad se le atribuye a Lagrange.


Sugerencia: calcular la parte real de


, donde .


Solucion.

Sea y como ..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera Sea , aplicando & con se tiene lo siguiente y tomamos partes reales obtenemos .............% desarrolandola se tiene :

= =.

Con lo cual solo basta probar que

Veamos la demostracion

..............#

Si la igualdad # es cierta. Si no, es equivalente a

.

Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que

.--Diana Rodriguez Almaraz. 04:47 15 oct 2010 (UTC)

DEMOSTRACION ALTERNATIVA DEL EJERCICIO 5 CAP 1.1.3

5. Demuestre que

,

donde no es un multiplo par de .

Sea

La expresión la podemos expresar como una suma geométrica

Esta serie converge a la expresión:

Como nos interesa solamente la parte real de la expresíon omitimos la parte imaginaria.

Reescribiendo la parte real y sabiendo que

Ahora bien, por la identidad

Con

Podemos reescrbir la expresión, para la sumas de senos y cosenos del numerador como:

Por último simplificando términos y reacomodando, llegamos al resultado

--Carlos López Cobá 06:20 26 oct 2010 (UTC)


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