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| == '''SECCION 1.1.3''' == | | == '''SECCION 1.1.3''' == |
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| '''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.''' | | '''1. Calcule las raíces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.''' |
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| Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos. | | Aplicando la formula para calcular raíces cuadradas de números complejos. |
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| <math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math> si <math>\quad b>0</math> | | <math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math> si <math>\quad b>0</math> |
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| '''REVISADO''' | | '''REVISADO''' |
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| '''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i''' | | '''2.- Calcule las raíces sextas de -64 y las raíces cubicas de 8i''' |
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| Tenemos que <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math> definicion en forma polar | | Tenemos que <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math> definicion en forma polar |
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| [[Imagen:Demo2.jpg]] | | |
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| | [[Archivo:Capitulo1.1.3Ejercicio2.svg|500px|sinmarco]] |
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| r=64 | | r=64 |
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| Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces | | Entonces utilizando la [[Compleja:Identidades_trigonometricas|Fórmula de Moivre]] para obtener las raíces |
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| Graficando en coordenadas polares nos queda: | | Graficando en coordenadas polares nos queda: |
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| [[Imagen:POLIGONO2.jpg]] | | [[Archivo:Capitulo1.1.3Ejercicio2a.svg|500px|sinmarco]] |
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| Haciendo algo similar para el 8i Tenemos | | Haciendo algo similar para el 8i Tenemos |
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| <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math> | | <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math> |
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| | [[Archivo:Capitulo1.1.3Ejercicio2b.svg|500px|sinmarco]] |
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| [[Imagen:DEMO3.jpg]]
| | El argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math> |
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| el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math>
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| r= 8 | | r= 8 |
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| n=3 porque nos pinden las raíces cubicas | | n=3 porque nos piden las raíces cubicas |
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| <math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2 | | <math>g^n=r</math> y g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2 |
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| Graficando en coordenadas polares tenemos
| | Gráficando en coordenadas polares tenemos |
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| [[Imagen:RAICES.jpg]]
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| | [[Archivo:Capitulo1.1.3Ejercicio2c.svg|500px|sinmarco]] |
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| '''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i''' | | '''2.- Calcule las raíces sextas de -64 y las raíces cubicas de 8i''' |
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| Por la formula de De Moivre | | Por la [[Compleja:Identidades_trigonometricas|Fórmula de Moivre]] |
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| | Realizado por: [[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC) |
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| <math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math> | | <math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math> |
| </center> | | </center> |
| Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.''' | | Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raíces n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.''' |
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| Solución: | | Solución: |
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| lo que queda demostrada la igualdad. | | lo que queda demostrada la igualdad. |
| --[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC) | | ---- |
| | | Realizado por:[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC) |
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| --[[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC) | | ---- |
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| ;OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5:
| | OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5: |
| '''5.''' '''Demuestre que''' | | '''5.''' '''Demuestre que''' |
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| Sea | | Sea |
| <math>\left(1-Z\right){\displaystyle {\scriptscriptstyle {\displaystyle \sum_{K=0}^{n}z^{k}=}}\sum_{k=0}^{n}z^{k}-\sum_{k=0}^{n}z^{k+1}=1+\sum_{k=1}^{n}z^{k}-\sum_{k=1}^{n}z^{k}-z^{n+1}=1-z^{n+1}}</math> | | <math>\left(1-Z\right){\displaystyle {\scriptscriptstyle {\displaystyle \sum_{K=0}^{n}z^{k}=}}\sum_{k=0}^{n}z^{k}-\sum_{k=0}^{n}z^{k+1}=1+\sum_{k=1}^{n}z^{k}-\sum_{k=1}^{n}z^{k}-z^{n+1}=1-z^{n+1}}</math> |
| | |
| y como <math>z\neq1</math>..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera | | y como <math>z\neq1</math>..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera |
| | |
| <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}z^{k}=\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}}</math> | | <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}z^{k}=\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}}</math> |
| | |
| Sea <math>\theta\in\left(0,2\Pi\right)</math>, aplicando & con <math>z=e^{i\theta}\in c/\{1\}</math> | | Sea <math>\theta\in\left(0,2\Pi\right)</math>, aplicando & con <math>z=e^{i\theta}\in c/\{1\}</math> |
| se tiene lo siguiente | | se tiene lo siguiente |
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| '''<math> | | '''<math> |
| {\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}=\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math>''' | | {\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}=\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math>''' |
| | |
| y tomamos partes reales obtenemos | | y tomamos partes reales obtenemos |
| <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=RE\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math> .............% | | <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=Re\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math> .............% |
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| desarrolandola se tiene : | | desarrolandola se tiene : |
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| <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=RE\dfrac{\left[1-e^{i\left(n+1\right)\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}{\left[1-e^{i\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}}</math>=<math>\dfrac{1-\cos\theta+\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-cos\theta\right)}</math> =<math>\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}</math>. | | <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=Re\dfrac{\left[1-e^{i\left(n+1\right)\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}{\left[1-e^{i\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}}</math>=<math>\dfrac{1-\cos\theta+\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-cos\theta\right)}</math> =<math>\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}</math>. |
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| Con lo cual solo basta probar que | | Con lo cual solo basta probar que |
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| Veamos la demostracion | | Veamos la demostracion |
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| <math>\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}=\dfrac{\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]}{2\sin\frac{\theta}{2}}\Longleftrightarrow</math> <math>\left(\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]\Longleftrightarrow</math> <math>\left(\cos n\theta-\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\left(\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}+\cos n\theta\sin{\theta\atop 2}\right)\Longleftrightarrow</math> | | <math>\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}=\dfrac{\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]}{2\sin\frac{\theta}{2}}\Longleftrightarrow</math> |
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| | <math>\left(\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]\Longleftrightarrow</math> |
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| | <math>\left(\cos n\theta-\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\left(\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}+\cos n\theta\sin{\theta\atop 2}\right)\Longleftrightarrow</math> |
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| <math>\sin n\theta\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}-\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}\cos\theta</math>..............# | | <math>\sin n\theta\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}-\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}\cos\theta</math>..............# |
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| Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que | | Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que |
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| <math>{\displaystyle 1+\cos\theta+....................+\cos n\theta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin\left(n\theta+\frac{\theta}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}}</math>.--[[Usuario:Diana Rodriguez Almaraz.|Diana Rodriguez Almaraz.]] 04:47 15 oct 2010 (UTC) | | <math>{\displaystyle 1+\cos\theta+....................+\cos n\theta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin\left(n\theta+\frac{\theta}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}}</math>. |
| ;DEMOSTRACION ALTERNATIVA DEL EJERCICIO 5 CAP 1.1.3:
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| | Realizado por:[[Usuario:Diana Rodriguez Almaraz.|Diana Rodriguez Almaraz.]] 04:47 15 oct 2010 (UTC) |
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| | DEMOSTRACION ALTERNATIVA DEL EJERCICIO 5 CAP 1.1.3: |
| '''5.''' '''Demuestre que''' | | '''5.''' '''Demuestre que''' |
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| <math>\dfrac{\dfrac{1}{2}\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]+\sin\dfrac{\theta}{2}}{\sin\dfrac{\theta}{2}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]}{2\sin\frac{\theta}{2}}</math> | | <math>\dfrac{\dfrac{1}{2}\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]+\sin\dfrac{\theta}{2}}{\sin\dfrac{\theta}{2}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]}{2\sin\frac{\theta}{2}}</math> |
| --[[Usuario:Carlos López Cobá|Carlos López Cobá]] 06:20 26 oct 2010 (UTC)
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| | Realizado por: [[Usuario:Carlos López Cobá|Carlos López Cobá]] 06:20 26 oct 2010 (UTC) |
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| [[Compleja:ej-cap1.1]] | | [[Compleja:ej-cap1.1]] |
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SECCION 1.1.3
1. Calcule las raíces cuadradas de y de .
Aplicando la formula para calcular raíces cuadradas de números complejos.
si
Por lo tanto las raices de , son:
y para , son:
Realizado por: Josua Da Vinci 23:44 30 sep 2009 (UTC)
REVISADO
2.- Calcule las raíces sextas de -64 y las raíces cubicas de 8i
Tenemos que definicion en forma polar
r=64
n=6 porque nos piden las raíces sextas
Entonces el argumento
Si
Entonces utilizando la Fórmula de Moivre para obtener las raíces
Ahora tenemos
y g= raíz enesima = = 2
y los es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de
entonces sacando las raíces
k=0
k=1
k=2
k=3
k=4
k=5
Las soluciones son
r1= 2
r2= 2
r3= 2
r4= 2
r5= 2
r6= 2
Graficando en coordenadas polares nos queda:
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos
El argumento
r= 8
n=3 porque nos piden las raíces cubicas
y g= raíz enesima = = 2
k=0
k=1
k=2
r1= 2
r2= 2
r3= 2
Gráficando en coordenadas polares tenemos
Realizado por: Karla 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
2.- Calcule las raíces sextas de -64 y las raíces cubicas de 8i
Sea
Por la Fórmula de Moivre
para k = 0,1,2,3,4,5
Evaluando k se obtiene
con k = 0
con k = 1
con k = 2
con k = 3
con k = 4
con k = 5
..............
Sea
para k = 0,1,2
Evaluando a k se obtiene
con k = 0
con k = 1
con k = 2
Realizado por: Luis Nava 21:07 3 oct 2009 (UTC)
3. Demuestre que donde z es una raíz n-ésima de la unidad,
Sea
Ahora multiplicamos ambos lados por Z
Restando la segunda ecuación de la primera
Tenemos que
entonces
De donde
Como z es una raíz enesima de la unidad
Entonces
y
porque
Por lo tanto
Realizado por: Ralf Gutierrez 22:00 2 oct 2009 (UTC)
4. Demuestre que:
Sugerencia: Factoriza la expresión usando las raíces n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en .
Solución:
Las raices de son
entonces podemos escribir
dividiendo ambos lados por y haciendo :
de aqui hallamos que
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que
tenemos
puesto que
la ecuación anterior se transforma en
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:
lo que queda demostrada la igualdad.
Realizado por:Wendy 23:10 4 oct 2009 (UTC)
5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Esta identidad se le atribuye a Lagrange.
Sugerencia: calcular la parte real de
, donde .
Solucion.
Sea
si multiplicamos por a se tiene que
ahora restemos estas dos ultimas expresiones
de lo que se obtiene que
Si en esta última expresion utilizamos entonces
toma la siguiente forma
que es equivalente a esta
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:
Se obtiene del numerador lo siguiente
si tomamos solo la parte real se tiene que
por otra parte para el denominador se tiene:
al tomar la parte real de
,
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente
identidad
tenemos lo siguiente:
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.
Realizado por: Dali 00:01 5 oct 2009 (UTC)
OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5:
5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Esta identidad se le atribuye a Lagrange.
Sugerencia: calcular la parte real de
, donde .
Solucion.
Sea
y como ..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera
Sea , aplicando & con
se tiene lo siguiente
y tomamos partes reales obtenemos
.............%
desarrolandola se tiene :
= =.
Con lo cual solo basta probar que
Veamos la demostracion
..............#
Si la igualdad # es cierta. Si no, es equivalente a
.
Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que
.
Realizado por:Diana Rodriguez Almaraz. 04:47 15 oct 2010 (UTC)
DEMOSTRACION ALTERNATIVA DEL EJERCICIO 5 CAP 1.1.3:
5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Sea
La expresión la podemos expresar como una suma geométrica
Esta serie converge a la expresión:
Como nos interesa solamente la parte real de la expresíon omitimos la parte imaginaria.
Reescribiendo la parte real y sabiendo que
Ahora bien, por la identidad
Con
Podemos reescrbir la expresión, para la sumas de senos y cosenos del numerador como:
Por último simplificando términos y reacomodando, llegamos al resultado
Realizado por: Carlos López Cobá 06:20 26 oct 2010 (UTC)
Compleja:ej-cap1.1
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Compleja:ej-cap1.3
Compleja:ej-cap1.4