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== '''SECCION 1.1.3''' ==
== '''SECCION 1.1.3''' ==


'''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.'''
'''1. Calcule las raíces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.'''




Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.
Aplicando la formula para calcular raíces cuadradas de números complejos.


<math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math>  si <math>\quad b>0</math>
<math>\pm\left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}} + i\sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\right)</math>  si <math>\quad b>0</math>
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--[[Usuario:Josua Da Vinci|Josua Da Vinci]] 23:44 30 sep 2009 (UTC)
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'''REVISADO'''
'''REVISADO'''


'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''
'''2.- Calcule las raíces sextas de -64 y las raíces cubicas de 8i'''


Tenemos que  <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math>  definicion en forma polar
Tenemos que  <math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= -64</math>  definicion en forma polar


[[Imagen:Demo2.jpg]]
 
 
[[Archivo:Capitulo1.1.3Ejercicio2.svg|500px|sinmarco]]


r=64  
r=64  
Línea 56: Línea 59:




Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces
Entonces utilizando la [[Compleja:Identidades_trigonometricas|Fórmula de Moivre]] para obtener las raíces




Línea 96: Línea 99:
Graficando en coordenadas polares nos queda:
Graficando en coordenadas polares nos queda:


[[Imagen:POLIGONO2.jpg]]
[[Archivo:Capitulo1.1.3Ejercicio2a.svg|500px|sinmarco]]
 


Haciendo algo similar para el 8i Tenemos
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos
Línea 102: Línea 106:
<math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math>
<math>cos\boldsymbol{\theta}+i sen\boldsymbol{\theta}= 8i</math>


[[Archivo:Capitulo1.1.3Ejercicio2b.svg|500px|sinmarco]]




[[Imagen:DEMO3.jpg]]
El argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math>
 
el argumento <math>\boldsymbol{\theta}=\pi/2</math>


r= 8
r= 8


n=3 porque nos pinden las raíces cubicas
n=3 porque nos piden las raíces cubicas


<math>g^n=r</math>  y    g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2
<math>g^n=r</math>  y    g= raíz enesima <math>\sqrt{8}</math>= = 2
Línea 130: Línea 133:




Graficando en coordenadas polares tenemos
Gráficando en coordenadas polares tenemos




[[Imagen:RAICES.jpg]]


[[Archivo:Capitulo1.1.3Ejercicio2c.svg|500px|sinmarco]]






--[[Usuario:Karla|Karla]] 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez




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Realizado por: [[Usuario:Karla|Karla]] 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez


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'''2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i'''
'''2.- Calcule las raíces sextas de -64 y las raíces cubicas de 8i'''




Línea 151: Línea 155:




Por la formula de De Moivre
Por la [[Compleja:Identidades_trigonometricas|Fórmula de Moivre]]




Línea 211: Línea 215:




--[[Usuario:Luis Nava|Luis Nava]] 21:07 3 oct 2009 (UTC)
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Línea 278: Línea 281:




--[[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC)
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Realizado por: [[Usuario:Ralf Gutierrez|Ralf Gutierrez]] 22:00 2 oct 2009 (UTC)
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Línea 288: Línea 290:
<math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math>
<math>\frac{n}{2^{n-1}}=\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{\pi}{k}</math>
</center>
</center>
Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.'''
Sugerencia: Factoriza la expresión <math>1+z+z^2+\cdots+z^n</math> usando las raíces n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en <math>z=1</math>.'''


Solución:
Solución:
Línea 335: Línea 337:


lo que queda demostrada la igualdad.
lo que queda demostrada la igualdad.
--[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC)
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Realizado por:[[Usuario:Wendy|Wendy]] 23:10 4 oct 2009 (UTC)
 
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Línea 458: Línea 459:




--[[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC)
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Realizado por: [[Usuario:Dali|Dali]] 00:01 5 oct 2009 (UTC)
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;OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5:
OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5:
'''5.''' '''Demuestre que'''
'''5.''' '''Demuestre que'''


Línea 483: Línea 486:
Sea  
Sea  
<math>\left(1-Z\right){\displaystyle {\scriptscriptstyle {\displaystyle \sum_{K=0}^{n}z^{k}=}}\sum_{k=0}^{n}z^{k}-\sum_{k=0}^{n}z^{k+1}=1+\sum_{k=1}^{n}z^{k}-\sum_{k=1}^{n}z^{k}-z^{n+1}=1-z^{n+1}}</math>
<math>\left(1-Z\right){\displaystyle {\scriptscriptstyle {\displaystyle \sum_{K=0}^{n}z^{k}=}}\sum_{k=0}^{n}z^{k}-\sum_{k=0}^{n}z^{k+1}=1+\sum_{k=1}^{n}z^{k}-\sum_{k=1}^{n}z^{k}-z^{n+1}=1-z^{n+1}}</math>
y como <math>z\neq1</math>..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera
y como <math>z\neq1</math>..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera
<math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}z^{k}=\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}}</math>
<math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}z^{k}=\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}}</math>
Sea <math>\theta\in\left(0,2\Pi\right)</math>, aplicando & con <math>z=e^{i\theta}\in c/\{1\}</math>
Sea <math>\theta\in\left(0,2\Pi\right)</math>, aplicando & con <math>z=e^{i\theta}\in c/\{1\}</math>
se tiene lo siguiente
se tiene lo siguiente
'''<math>
'''<math>
{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}=\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math>'''
{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}=\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math>'''
y tomamos partes reales obtenemos
y tomamos partes reales obtenemos
<math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=RE\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math> .............%  
<math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=Re\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math> .............%  
 
desarrolandola se tiene :
desarrolandola se tiene :


<math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=RE\dfrac{\left[1-e^{i\left(n+1\right)\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}{\left[1-e^{i\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}}</math>=<math>\dfrac{1-\cos\theta+\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-cos\theta\right)}</math> =<math>\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}</math>.
<math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=Re\dfrac{\left[1-e^{i\left(n+1\right)\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}{\left[1-e^{i\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}}</math>=<math>\dfrac{1-\cos\theta+\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-cos\theta\right)}</math> =<math>\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}</math>.


Con lo cual solo basta probar que  
Con lo cual solo basta probar que  
Línea 501: Línea 510:
Veamos la demostracion
Veamos la demostracion


<math>\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}=\dfrac{\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]}{2\sin\frac{\theta}{2}}\Longleftrightarrow</math> <math>\left(\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]\Longleftrightarrow</math>  <math>\left(\cos n\theta-\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\left(\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}+\cos n\theta\sin{\theta\atop 2}\right)\Longleftrightarrow</math>   
<math>\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}=\dfrac{\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]}{2\sin\frac{\theta}{2}}\Longleftrightarrow</math>  
 
<math>\left(\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]\Longleftrightarrow</math>   
 
<math>\left(\cos n\theta-\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\left(\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}+\cos n\theta\sin{\theta\atop 2}\right)\Longleftrightarrow</math>  
    
<math>\sin n\theta\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}-\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}\cos\theta</math>..............#
<math>\sin n\theta\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}-\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}\cos\theta</math>..............#


Línea 510: Línea 524:
Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por  lo tanto queda demostrado que
Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por  lo tanto queda demostrado que


<math>{\displaystyle 1+\cos\theta+....................+\cos n\theta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin\left(n\theta+\frac{\theta}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}}</math>.--[[Usuario:Diana Rodriguez Almaraz.|Diana Rodriguez Almaraz.]] 04:47 15 oct 2010 (UTC)
<math>{\displaystyle 1+\cos\theta+....................+\cos n\theta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin\left(n\theta+\frac{\theta}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}}</math>.
;DEMOSTRACION ALTERNATIVA DEL EJERCICIO 5 CAP 1.1.3:
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Realizado por:[[Usuario:Diana Rodriguez Almaraz.|Diana Rodriguez Almaraz.]] 04:47 15 oct 2010 (UTC)
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DEMOSTRACION ALTERNATIVA DEL EJERCICIO 5 CAP 1.1.3:
'''5.''' '''Demuestre que'''
'''5.''' '''Demuestre que'''


Línea 549: Línea 566:


<math>\dfrac{\dfrac{1}{2}\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]+\sin\dfrac{\theta}{2}}{\sin\dfrac{\theta}{2}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]}{2\sin\frac{\theta}{2}}</math>
<math>\dfrac{\dfrac{1}{2}\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]+\sin\dfrac{\theta}{2}}{\sin\dfrac{\theta}{2}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]}{2\sin\frac{\theta}{2}}</math>
--[[Usuario:Carlos López Cobá|Carlos López Cobá]] 06:20 26 oct 2010 (UTC)
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Realizado por: [[Usuario:Carlos López Cobá|Carlos López Cobá]] 06:20 26 oct 2010 (UTC)
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[[Compleja:ej-cap1.1]]
[[Compleja:ej-cap1.1]]



Revisión actual - 08:09 15 abr 2023

SECCION 1.1.3

1. Calcule las raíces cuadradas de y de .


Aplicando la formula para calcular raíces cuadradas de números complejos.

si


Por lo tanto las raices de , son:





y para , son:






Realizado por: Josua Da Vinci 23:44 30 sep 2009 (UTC)


REVISADO

2.- Calcule las raíces sextas de -64 y las raíces cubicas de 8i

Tenemos que definicion en forma polar


Capitulo1.1.3Ejercicio2.svg

r=64

n=6 porque nos piden las raíces sextas

Entonces el argumento


Si


Entonces utilizando la Fórmula de Moivre para obtener las raíces


Ahora tenemos

y g= raíz enesima = = 2

y los es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de entonces sacando las raíces

k=0

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

Las soluciones son

r1= 2

r2= 2

r3= 2

r4= 2

r5= 2

r6= 2

Graficando en coordenadas polares nos queda:

Capitulo1.1.3Ejercicio2a.svg


Haciendo algo similar para el 8i Tenemos

Capitulo1.1.3Ejercicio2b.svg


El argumento

r= 8

n=3 porque nos piden las raíces cubicas

y g= raíz enesima = = 2

k=0

k=1

k=2

r1= 2

r2= 2

r3= 2


Gráficando en coordenadas polares tenemos


Capitulo1.1.3Ejercicio2c.svg




Realizado por: Karla 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez



2.- Calcule las raíces sextas de -64 y las raíces cubicas de 8i


Sea


Por la Fórmula de Moivre


para k = 0,1,2,3,4,5


Evaluando k se obtiene


con k = 0

con k = 1

con k = 2

con k = 3

con k = 4

con k = 5


..............


Sea


para k = 0,1,2


Evaluando a k se obtiene


con k = 0

con k = 1

con k = 2



Realizado por: Luis Nava 21:07 3 oct 2009 (UTC)


3. Demuestre que donde z es una raíz n-ésima de la unidad,


Sea

Ahora multiplicamos ambos lados por Z

Restando la segunda ecuación de la primera

Tenemos que

entonces

De donde

Como z es una raíz enesima de la unidad




Entonces


y


porque


Por lo tanto





Realizado por: Ralf Gutierrez 22:00 2 oct 2009 (UTC)


4. Demuestre que:

Sugerencia: Factoriza la expresión usando las raíces n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en .

Solución:

Las raices de son

entonces podemos escribir

dividiendo ambos lados por y haciendo :

de aqui hallamos que

tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)

Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que

tenemos

puesto que

la ecuación anterior se transforma en

despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:

lo que queda demostrada la igualdad.


Realizado por:Wendy 23:10 4 oct 2009 (UTC)


5. Demuestre que

,

donde no es un multiplo par de .


Esta identidad se le atribuye a Lagrange.


Sugerencia: calcular la parte real de


, donde .


Solucion.

Sea

si multiplicamos por a se tiene que


ahora restemos estas dos ultimas expresiones


de lo que se obtiene que



Si en esta última expresion utilizamos entonces



toma la siguiente forma



que es equivalente a esta



Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:



Se obtiene del numerador lo siguiente



si tomamos solo la parte real se tiene que




por otra parte para el denominador se tiene:




al tomar la parte real de


,


sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente identidad




tenemos lo siguiente:



Lo cual es casi a lo que se queria llegar.



Realizado por: Dali 00:01 5 oct 2009 (UTC)


OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5: 5. Demuestre que

,

donde no es un multiplo par de .


Esta identidad se le atribuye a Lagrange.


Sugerencia: calcular la parte real de


, donde .


Solucion.

Sea

y como ..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera

Sea , aplicando & con se tiene lo siguiente

y tomamos partes reales obtenemos .............%

desarrolandola se tiene :

= =.

Con lo cual solo basta probar que

Veamos la demostracion

..............#

Si la igualdad # es cierta. Si no, es equivalente a

.

Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que

.


Realizado por:Diana Rodriguez Almaraz. 04:47 15 oct 2010 (UTC)


DEMOSTRACION ALTERNATIVA DEL EJERCICIO 5 CAP 1.1.3: 5. Demuestre que

,

donde no es un multiplo par de .

Sea

La expresión la podemos expresar como una suma geométrica

Esta serie converge a la expresión:

Como nos interesa solamente la parte real de la expresíon omitimos la parte imaginaria.

Reescribiendo la parte real y sabiendo que

Ahora bien, por la identidad

Con

Podemos reescrbir la expresión, para la sumas de senos y cosenos del numerador como:

Por último simplificando términos y reacomodando, llegamos al resultado


Realizado por: Carlos López Cobá 06:20 26 oct 2010 (UTC)


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