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| Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces | | Entonces utilizando la [[Compleja:Identidades_trigonometricas|Fórmula de Moivre]] para obtener las raíces |
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| Por la formula de De Moivre | | Por la [[Compleja:Identidades_trigonometricas|Fórmula de Moivre]] |
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| Sea | | Sea |
| <math>\left(1-Z\right){\displaystyle {\scriptscriptstyle {\displaystyle \sum_{K=0}^{n}z^{k}=}}\sum_{k=0}^{n}z^{k}-\sum_{k=0}^{n}z^{k+1}=1+\sum_{k=1}^{n}z^{k}-\sum_{k=1}^{n}z^{k}-z^{n+1}=1-z^{n+1}}</math> | | <math>\left(1-Z\right){\displaystyle {\scriptscriptstyle {\displaystyle \sum_{K=0}^{n}z^{k}=}}\sum_{k=0}^{n}z^{k}-\sum_{k=0}^{n}z^{k+1}=1+\sum_{k=1}^{n}z^{k}-\sum_{k=1}^{n}z^{k}-z^{n+1}=1-z^{n+1}}</math> |
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| y como <math>z\neq1</math>..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera | | y como <math>z\neq1</math>..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera |
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| <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}z^{k}=\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}}</math> | | <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}z^{k}=\dfrac{1-z^{n+1}}{1-z}}</math> |
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| Sea <math>\theta\in\left(0,2\Pi\right)</math>, aplicando & con <math>z=e^{i\theta}\in c/\{1\}</math> | | Sea <math>\theta\in\left(0,2\Pi\right)</math>, aplicando & con <math>z=e^{i\theta}\in c/\{1\}</math> |
| se tiene lo siguiente | | se tiene lo siguiente |
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| '''<math> | | '''<math> |
| {\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}=\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math>''' | | {\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}=\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math>''' |
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| y tomamos partes reales obtenemos | | y tomamos partes reales obtenemos |
| <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=RE\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math> .............% | | <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=Re\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math> .............% |
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| desarrolandola se tiene : | | desarrolandola se tiene : |
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| <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=RE\dfrac{\left[1-e^{i\left(n+1\right)\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}{\left[1-e^{i\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}}</math>=<math>\dfrac{1-\cos\theta+\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-cos\theta\right)}</math> =<math>\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}</math>. | | <math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=Re\dfrac{\left[1-e^{i\left(n+1\right)\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}{\left[1-e^{i\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}}</math>=<math>\dfrac{1-\cos\theta+\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-cos\theta\right)}</math> =<math>\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}</math>. |
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| Con lo cual solo basta probar que | | Con lo cual solo basta probar que |
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| Veamos la demostracion | | Veamos la demostracion |
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| <math>\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}=\dfrac{\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]}{2\sin\frac{\theta}{2}}\Longleftrightarrow</math> <math>\left(\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]\Longleftrightarrow</math> <math>\left(\cos n\theta-\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\left(\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}+\cos n\theta\sin{\theta\atop 2}\right)\Longleftrightarrow</math> | | <math>\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}=\dfrac{\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]}{2\sin\frac{\theta}{2}}\Longleftrightarrow</math> |
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| | <math>\left(\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]\Longleftrightarrow</math> |
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| | <math>\left(\cos n\theta-\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\left(\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}+\cos n\theta\sin{\theta\atop 2}\right)\Longleftrightarrow</math> |
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| <math>\sin n\theta\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}-\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}\cos\theta</math>..............# | | <math>\sin n\theta\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}-\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}\cos\theta</math>..............# |
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| <math>{\displaystyle 1+\cos\theta+....................+\cos n\theta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin\left(n\theta+\frac{\theta}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}}</math>.--[[Usuario:Diana Rodriguez Almaraz.|Diana Rodriguez Almaraz.]] 04:47 15 oct 2010 (UTC) | | <math>{\displaystyle 1+\cos\theta+....................+\cos n\theta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin\left(n\theta+\frac{\theta}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}}</math>.--[[Usuario:Diana Rodriguez Almaraz.|Diana Rodriguez Almaraz.]] 04:47 15 oct 2010 (UTC) |
| | ;DEMOSTRACION ALTERNATIVA DEL EJERCICIO 5 CAP 1.1.3: |
| | '''5.''' '''Demuestre que''' |
| | |
| | <math>1+cos\theta+cos2\theta+.....+cos n\theta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{sen\left(n\theta+\dfrac{\theta}{2}\right)}{2sen\left(\dfrac{\theta}{2}\right)}</math>, |
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| | '''donde''' '''<math>\theta</math> ''' '''no es un multiplo par de''' '''<math>\pi</math>.''' |
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| | Sea |
| | <math>z=\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}</math> |
| | |
| | La expresión <math>1+\cos\theta+...+\cos n\theta</math> la podemos expresar como una suma geométrica |
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| | <math>{\displaystyle {\scriptscriptstyle {\displaystyle \sum_{K=0}^{n}z^{k}=\sum_{K=0}^{n}\cos k\theta+i\sin k\theta}}}</math> |
| | |
| | Esta serie converge a la expresión: |
| | |
| | <math>i\sin k\theta+\cos\dfrac{n\theta}{2}\csc\dfrac{\theta}{2}\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]</math> |
| | |
| | Como nos interesa solamente la parte real de la expresíon omitimos la parte imaginaria. |
| | |
| | <math>Re[i\sin k\theta+\cos\dfrac{n\theta}{2}\csc\dfrac{\theta}{2}\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]=\cos\dfrac{n\theta}{2}+\csc\dfrac{\theta}{2}\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]</math> |
| | |
| | Reescribiendo la parte real y sabiendo que <math>\csc x=\dfrac{1}{\sin x}</math> |
| | |
| | <math>\cos\dfrac{n\theta}{2}\csc\dfrac{\theta}{2}\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]=\dfrac{\cos\dfrac{n\theta}{2}+\sin[\dfrac{\theta(1+n)}{2}]}{\sin\dfrac{\theta}{2}}</math> |
| | |
| | Ahora bien, por la identidad |
| | |
| | <math>\sin[a]\cos[b]=\dfrac{1}{2}[\sin[a+b]+\sin[a-b]]</math> |
| | Con<math>a=\dfrac{\theta}{2}+\dfrac{n\theta}{2}</math> <math>b=\dfrac{n\theta}{2}</math> |
| | |
| | Podemos reescrbir la expresión, para la sumas de senos y cosenos del numerador como: |
| | |
| | <math>\dfrac{1}{2}[\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]+\sin\dfrac{\theta}{2}]</math> |
| | |
| | Por último simplificando términos y reacomodando, llegamos al resultado |
| | |
| | <math>\dfrac{\dfrac{1}{2}\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]+\sin\dfrac{\theta}{2}}{\sin\dfrac{\theta}{2}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin[\dfrac{\theta}{2}+n\theta]}{2\sin\frac{\theta}{2}}</math> |
| | --[[Usuario:Carlos López Cobá|Carlos López Cobá]] 06:20 26 oct 2010 (UTC) |
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| | [[Compleja:ej-cap1.1]] |
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| | esta seccion ej-cap1.1.3 |
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| | [[Compleja:ej-cap1.1.4]] |
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| | [[Compleja:ej-cap1.2]] |
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| | [[Compleja:ej-cap1.3]] |
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| | [[Compleja:ej-cap1.4]] |
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| | [[categoría:Compleja]] |
SECCION 1.1.3
1. Calcule las raìces cuadradas de y de .
Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.
si
Por lo tanto las raices de , son:
y para , son:
--Josua Da Vinci 23:44 30 sep 2009 (UTC)
REVISADO
2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i
Tenemos que definicion en forma polar
r=64
n=6 porque nos piden las raíces sextas
Entonces el argumento
Si
Entonces utilizando la Fórmula de Moivre para obtener las raíces
Ahora tenemos
y g= raíz enesima = = 2
y los es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de
entonces sacando las raíces
k=0
k=1
k=2
k=3
k=4
k=5
Las soluciones son
r1= 2
r2= 2
r3= 2
r4= 2
r5= 2
r6= 2
Graficando en coordenadas polares nos queda:
Archivo:POLIGONO2.jpg
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos
Archivo:DEMO3.jpg
el argumento
r= 8
n=3 porque nos pinden las raíces cubicas
y g= raíz enesima = = 2
k=0
k=1
k=2
r1= 2
r2= 2
r3= 2
Graficando en coordenadas polares tenemos
--Karla 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i
Sea
Por la Fórmula de Moivre
para k = 0,1,2,3,4,5
Evaluando k se obtiene
con k = 0
con k = 1
con k = 2
con k = 3
con k = 4
con k = 5
..............
Sea
para k = 0,1,2
Evaluando a k se obtiene
con k = 0
con k = 1
con k = 2
--Luis Nava 21:07 3 oct 2009 (UTC)
3. Demuestre que donde z es una raíz n-ésima de la unidad,
Sea
Ahora multiplicamos ambos lados por Z
Restando la segunda ecuación de la primera
Tenemos que
entonces
De donde
Como z es una raíz enesima de la unidad
Entonces
y
porque
Por lo tanto
--Ralf Gutierrez 22:00 2 oct 2009 (UTC)
4. Demuestre que:
Sugerencia: Factoriza la expresión usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en .
Solución:
Las raices de son
entonces podemos escribir
dividiendo ambos lados por y haciendo :
de aqui hallamos que
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que
tenemos
puesto que
la ecuación anterior se transforma en
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:
lo que queda demostrada la igualdad.
--Wendy 23:10 4 oct 2009 (UTC)
5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Esta identidad se le atribuye a Lagrange.
Sugerencia: calcular la parte real de
, donde .
Solucion.
Sea
si multiplicamos por a se tiene que
ahora restemos estas dos ultimas expresiones
de lo que se obtiene que
Si en esta última expresion utilizamos entonces
toma la siguiente forma
que es equivalente a esta
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:
Se obtiene del numerador lo siguiente
si tomamos solo la parte real se tiene que
por otra parte para el denominador se tiene:
al tomar la parte real de
,
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente
identidad
tenemos lo siguiente:
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.
--Dali 00:01 5 oct 2009 (UTC)
- OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5
5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Esta identidad se le atribuye a Lagrange.
Sugerencia: calcular la parte real de
, donde .
Solucion.
Sea
y como ..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera
Sea , aplicando & con
se tiene lo siguiente
y tomamos partes reales obtenemos
.............%
desarrolandola se tiene :
= =.
Con lo cual solo basta probar que
Veamos la demostracion
..............#
Si la igualdad # es cierta. Si no, es equivalente a
.
Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que
.--Diana Rodriguez Almaraz. 04:47 15 oct 2010 (UTC)
- DEMOSTRACION ALTERNATIVA DEL EJERCICIO 5 CAP 1.1.3
5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Sea
La expresión la podemos expresar como una suma geométrica
Esta serie converge a la expresión:
Como nos interesa solamente la parte real de la expresíon omitimos la parte imaginaria.
Reescribiendo la parte real y sabiendo que
Ahora bien, por la identidad
Con
Podemos reescrbir la expresión, para la sumas de senos y cosenos del numerador como:
Por último simplificando términos y reacomodando, llegamos al resultado
--Carlos López Cobá 06:20 26 oct 2010 (UTC)
Compleja:ej-cap1.1
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