Diferencia entre revisiones de «Compleja:ej-cap1.1.3»

De luz-wiki
(Página creada con '== '''SECCION 1.1.3''' == '''1. Calcule las raìces cuadradas de <math>3+4i</math> y de <math>1+2i</math>.''' Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros c…')
 
Sin resumen de edición
Línea 487: Línea 487:
Sea <math>\theta\in\left(0,2\Pi\right)</math>, aplicando & con <math>z=e^{i\theta}\in c/\{1\}</math>
Sea <math>\theta\in\left(0,2\Pi\right)</math>, aplicando & con <math>z=e^{i\theta}\in c/\{1\}</math>
se tiene lo siguiente
se tiene lo siguiente
'''<math>
{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}e^{ik\theta}=\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math>'''
y tomamos partes reales obtenemos
<math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=RE\dfrac{1-e^{i\left(n+1\right)\theta}}{1-e^{i\theta}}}</math> .............%
desarrolandola se tiene :
<math>{\displaystyle \sum_{k=0}^{n}\cos k\theta=RE\dfrac{\left[1-e^{i\left(n+1\right)\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}{\left[1-e^{i\theta}\right]\left[1-e^{-i\theta}\right]}}</math>=<math>\dfrac{1-\cos\theta+\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-cos\theta\right)}</math> =<math>\dfrac{1}{2}+\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}</math>.
Con lo cual solo basta probar que
<math>\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}=\dfrac{\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]}{2\sin\frac{\theta}{2}}</math>
Veamos la demostracion
<math>\dfrac{\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]}{2\left(1-\cos\theta\right)}=\dfrac{\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]}{2\sin\frac{\theta}{2}}\Longleftrightarrow</math>  <math>\left(\cos n\theta-\cos\left[\left(n+1\right)\theta\right]\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\sin\left[\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right]\Longleftrightarrow</math>  <math>\left(\cos n\theta-\cos n\theta\cos\theta+\sin n\theta\sin\theta\right)\sin\frac{\theta}{2}=\left(1-\cos\theta\right)\left(\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}+\cos n\theta\sin{\theta\atop 2}\right)\Longleftrightarrow</math> 
<math>\sin n\theta\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}-\sin n\theta\cos\frac{\theta}{2}\cos\theta</math>..............#
Si <math>{\displaystyle \sin n\theta=0}</math> la igualdad # es cierta. Si no, es equivalente a
<math>{\displaystyle \cos\frac{\theta}{2}\cos\theta+}\sin\theta\sin\frac{\theta}{2}=\cos\frac{\theta}{2}</math>.
Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por  lo tanto queda demostrado que
<math>{\displaystyle 1+\cos\theta+....................+\cos n\theta=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sin\left(n\theta+\frac{\theta}{2}\right)}{2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}}</math>.--[[Usuario:Diana Rodriguez Almaraz.|Diana Rodriguez Almaraz.]] 04:47 15 oct 2010 (UTC)

Revisión del 09:05 15 oct 2010

SECCION 1.1.3

1. Calcule las raìces cuadradas de y de .


Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.

si


Por lo tanto las raices de , son:





y para , son:





--Josua Da Vinci 23:44 30 sep 2009 (UTC)


REVISADO

2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i

Tenemos que definicion en forma polar

Demo2.jpg

r=64

n=6 porque nos piden las raíces sextas

Entonces el argumento


Si


Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces


Ahora tenemos

y g= raíz enesima = = 2

y los es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de entonces sacando las raíces

k=0

k=1

k=2

k=3

k=4

k=5

Las soluciones son

r1= 2

r2= 2

r3= 2

r4= 2

r5= 2

r6= 2

Graficando en coordenadas polares nos queda:

Archivo:POLIGONO2.jpg

Haciendo algo similar para el 8i Tenemos


Archivo:DEMO3.jpg

el argumento

r= 8

n=3 porque nos pinden las raíces cubicas

y g= raíz enesima = = 2

k=0

k=1

k=2

r1= 2

r2= 2

r3= 2


Graficando en coordenadas polares tenemos


RAICES.jpg



--Karla 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez




2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i


Sea


Por la formula de De Moivre


para k = 0,1,2,3,4,5


Evaluando k se obtiene


con k = 0

con k = 1

con k = 2

con k = 3

con k = 4

con k = 5


..............


Sea


para k = 0,1,2


Evaluando a k se obtiene


con k = 0

con k = 1

con k = 2


--Luis Nava 21:07 3 oct 2009 (UTC)



3. Demuestre que donde z es una raíz n-ésima de la unidad,


Sea

Ahora multiplicamos ambos lados por Z

Restando la segunda ecuación de la primera

Tenemos que

entonces

De donde

Como z es una raíz enesima de la unidad




Entonces


y


porque


Por lo tanto




--Ralf Gutierrez 22:00 2 oct 2009 (UTC)



4. Demuestre que:

Sugerencia: Factoriza la expresión usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en .

Solución:

Las raices de son

entonces podemos escribir

dividiendo ambos lados por y haciendo :

de aqui hallamos que

tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)

Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que

tenemos

puesto que

la ecuación anterior se transforma en

despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:

lo que queda demostrada la igualdad. --Wendy 23:10 4 oct 2009 (UTC)



5. Demuestre que

,

donde no es un multiplo par de .


Esta identidad se le atribuye a Lagrange.


Sugerencia: calcular la parte real de


, donde .


Solucion.

Sea

si multiplicamos por a se tiene que


ahora restemos estas dos ultimas expresiones


de lo que se obtiene que



Si en esta última expresion utilizamos entonces



toma la siguiente forma



que es equivalente a esta



Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:



Se obtiene del numerador lo siguiente



si tomamos solo la parte real se tiene que




por otra parte para el denominador se tiene:




al tomar la parte real de


,


sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente identidad




tenemos lo siguiente:



Lo cual es casi a lo que se queria llegar.


--Dali 00:01 5 oct 2009 (UTC)

OTRA DEMOSTRACION DEL EJERCICIO1.1.3 NUMERO 5

5. Demuestre que

,

donde no es un multiplo par de .


Esta identidad se le atribuye a Lagrange.


Sugerencia: calcular la parte real de


, donde .


Solucion.

Sea y como ..............& y por ser una serie geometrica la podemos escribir de la siguiente manera Sea , aplicando & con se tiene lo siguiente y tomamos partes reales obtenemos .............% desarrolandola se tiene :

= =.

Con lo cual solo basta probar que

Veamos la demostracion

..............#

Si la igualdad # es cierta. Si no, es equivalente a

.

Lo cual es cierto por la formula de coseno diferencial . Por lo tanto queda demostrado que

.--Diana Rodriguez Almaraz. 04:47 15 oct 2010 (UTC)