1.1.1
1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa
Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z = a + i b, \quad w = c + i d, \quad s = e + i f \, \quad
con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \quad a,b,c,d,e,f \in \mbox{R}
Por demostrar
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =[e(ac - bd) - f(bc + ad)] + i [e(bc + ad) + f(ac - bd) = (ace - bde - bcf - adf) + i (bce + ade + acf - bdf)\,
Por otra parte
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z(ws) = (a + i b)[(c + i d)(e + i f)] = (a + i b)[(ce - df) + i (de + cf)]\,
Entonces se cumple .
--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)
1.1.2
1. Demuestre que
Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z = a + i b \quad y \quad w = c + i d\,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left|\frac{z}{w}\right|= \left|\frac{a + i b }{c + i d}\right|= \left|\frac{(a + i b)(c - i d)}{(c + i d)(c - i d)}\right|
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): =\left|\frac{(ac + bd) + i (bc - ad)}{c^2 + d^2}\right|= \sqrt{\bigg ( \frac{ac + bd}{c^2 + d^2}\bigg )^2 + \bigg (\frac{bc - ad}{c^2 + d^2}\bigg )^2} = \frac{1}{c^2 + d^2}\sqrt{ (ac + bd)^2 + (bc - ad)^2 }
Por otra parte
--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)
2. Exprese de la forma
Por las propiedades , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{zw}=\bar{z}\bar{w}
Simplificando, se obtiene:
Resolviendo la división de números complejos, de la forma:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{w\bar{w}}=\frac{z\bar{w}}{\left|w\right|^2}
:
=.
--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)
3. Demuestre que es raiz de un polinomio real si y solo si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \overline{\alpha}
lo es.
Sea solucion de un polinomio real,
entonces
como , por lo tanto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \alpha
tambien es solucion.
--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)
5. Sean Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_1 , z_2 , z_3 \in \mathbb{C}
tales que cumplen Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3}
, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.
Tenemos que
y, por lo tanto,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{|z_2 - z_1|}{|z_3 - z_1|} = \frac{|z_1 - z_3|}{|z_2 - z_3|}.\qquad (2)
De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \left . \begin{matrix}|z_2 - z_1| = A\\ |z_3 - z_1| = B = |z_1 - z_3|\\ |z_2 - z_3| = C\\ \end{matrix} \right \} \qquad (3)
De (2) y (3) tenemos que:
Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \beta
es igual al ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \gamma
y éste a su vez al ángulo , es decir,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \alpha = \beta = \gamma. \qquad (5)
Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.
--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)
6. Sea , pruebe que
Puesto que el número complejo z puede escribirse como
Se deduce que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Re(z)}\right|}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\left|{z}\right|}{\ge }{\left|{Im(z)}\right|}
Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo
Entonces
O sea
O de otra manera
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {{\left|{z}\right|^2}{\ge }2\left|{Re(z)}\right|\left|{Im(z)}\right|}
Sumando , a ambos lados se tiene
Como
Entonces
De donde
Sacando raíces cuadradas positivas
Por lo tanto
--Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)
6-bis. Sea , pruebe que
Tenemos que , entonces de la teoria sabemos que
Tambien es inmediato que para z , , y que el cuadrado de cualquier numero real es siempre positivo, entonces de esto se tiene que
Desarrollando el binomio se tiene que
Y por la identidad (1) esto se puede escribir como
Ahora sumando en ambos lados obtenemos lo siguiente
Pero ademas como , lo sustituimos en el resultado anterior
Es facil ver que
Utilizando este resultado se deduce que
Y tomando las raices positivas llegamos al siguiente resultado
Que es lo que se queria mostrar.
--Oscar Adrian 03:56 1 oct 2009 (UTC)
7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
Archivo:Dibujobueno.jpg
Sacamos las normas de los números complejos
|z|=
|w|=
Por algebra de vectores
Donde |h| es la resultante de |z|+|w|
+
De la misma forma el dibujo nos indica q trasladamos la magnitudes de los vectores
|w| y |z| y por tanto también tendremos |z|+|w| =|h|
Entonces si |z|+|w| = |h|
Aplicando el teorema de pitagoras q nos dice
d = cateto
f = cateto
entonces tenemos que
Aplicamos pitagoras
Por tanto
se cumple la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de la diagonal.
--Karla 22:47 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
1.1.3
1. Calcule las raìces cuadradas de y de .
Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.
si
Por lo tanto las raices de , son:
y para , son:
--Josua Da Vinci 23:44 30 sep 2009 (UTC)
2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i
Tenemos q cosθ+i senθ = -64 definicion en forma polar
r=64
n=6 porque nos piden las raíces sextas
Entonces el argumento θ= ∏
Entonces
Si x+iy= r exp iφ
Entonces utilizando la definición de Moivre para obtener las raíces
(g exp iφ)^n= r exp iθ
Ahora tenemos
y g= raíz enesima = = 2
y φn = θ+2k∏ los 2∏ es porque tomamos en cuenta la periodicidad de la funció n y k son todos los múltiplos de 2∏
entonces sacando las raíces
θ=∏/6 k=0
θ = ∏ / 6 + 2 ∏ / 6 = 3 ∏ / 6 k=1
θ=∏/6+2(2)∏/6= 5∏/6 k=2
θ=∏/6+(3)2∏/6= 7∏/6 k=3
θ=∏/6+2(4)∏/6= 9∏/6 k=4
θ=∏/6+2(5)∏/6= 11∏/6 k=1
Las soluciones son
r1= 2 Error al representar (error de sintaxis): e^{(i ∏/6)}
r2= 2 Error al representar (error de sintaxis): e^{(i 3∏/6)}
r3= 2 Error al representar (error de sintaxis): e^{(i 5∏/6)}
r4= 2 Error al representar (error de sintaxis): e^{(i 7∏/6)}
r5= 2 Error al representar (error de sintaxis): e^{(i 9∏/6)}
r6= 2 Error al representar (error de sintaxis): e^{(i 11∏/6)}
Graficando en coordenadas polares nos queda:
Archivo:POLIGONO2.jpg
Haciendo algo similar para el 8i Tenemos
cosθ+i senθ= 8i
Archivo:DEMO3.jpg
el argumento θ= ∏/2
r= 8
n=3 porque nos pinden las raíces cubicas
y g= raíz enesima = = 2
φn = θ+2k∏
φ=∏/6 k=0
φ=∏/6+2∏/3= 5∏/6 k=1
φ=∏/6+2(2)∏/3= 9∏/6 k=2
r1= 2 Error al representar (error de sintaxis): e^{(i ∏/6)}
r2= 2 Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): e^{(i 5∏/6)}
r3= 2 Error al representar (error de sintaxis): e^{(i 9∏/6)}
Graficando en coordenadas polares tenemos
--Karla 21:35 4 oct 2009 (UTC)Sanchez
---
2.- Calcule las raices sextas de -64 y las raices cubicas de 8i
Sea
Por la formula de De Moivre
para k = 0,1,2,3,4,5
Evaluando k se obtiene
con k = 0
con k = 1
con k = 2
con k = 3
con k = 4
con k = 5
..............
Sea
para k = 0,1,2
Evaluando a k se obtiene
con k = 0
con k = 1
con k = 2
--Luis Nava 21:07 3 oct 2009 (UTC)
3. Demuestre que donde z es una raíz n-ésima de la unidad,
Sea
Ahora multiplicamos ambos lados por Z
Restando la segunda ecuación de la primera
Tenemos que
De donde
Como z es una raíz enesima de la unidad
Entonces
y
porque
Por lo tanto
--Ralf Gutierrez 22:00 2 oct 2009 (UTC)
1.1.4
2.- Sean numeros complejos, ¿Bajo que condiciones se tiene que ?
Si , entonces
por otro lado
y por lo tanto
--Luis Nava 02:52 5 oct 2009 (UTC)
Demuestre que:
Sugerencia: Factoriza la expresión usando las raices n-ésimas de la unidad, posteriormente evalue en .
Solución:
Las raices de son
entonces podemos escribir
dividiendo ambos lados por y haciendo :
de aqui hallamos que
tomando el conjugado complejo de ambos lados de (1)
Multiplicando la ecuación (1) por la (2) y aplicando que
tenemos
puesto que
la ecuación anterior se transforma en
despejando y sacando la raíz en ambos lados de la expresión:
lo que queda demostrada la igualdad.
--Wendy 23:10 4 oct 2009 (UTC)
5. Demuestre que
,
donde no es un multiplo par de .
Esta identidad se le atribuye a Lagrange.
Sugerencia: calcular la parte real de
, donde .
Solucion.
Sea
si multiplicamos por a se tiene que
ahora restemos estas dos ultimas expresiones
de lo que se obtiene que
Si en esta última expresion utilizamos entonces
toma la siguiente forma
que es equivalente a esta
Tomando el lado derecho de esta ultima expresión y llevar a cabo el producto con su conjugado , es decir:
Se obtiene del numerador lo siguiente
si tomamos solo la parte real se tiene que
por otra parte para el denominador se tiene:
al tomar la parte real de
,
sustituir lo encontrado para el numerador (parte real) y el denominador , y utilizar la siguiente
identidad
tenemos lo siguiente:
Lo cual es casi a lo que se queria llegar.
--Dali 00:01 5 oct 2009 (UTC)