Compleja:ej-cap1.1

De luz-wiki

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean con


Por demostrar




Por otra parte



Entonces se cumple .


--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)


1.1.2

1. Demuestre que

Sean





Por otra parte


--Gabita 22:15 28 sep 2009 (UTC)



2. Exprese de la forma


Por las propiedades ,



Simplificando, se obtiene:



Resolviendo la división de números complejos, de la forma:


:



=.


--Josua Da Vinci 23:00 28 sep 2009 (UTC)




3. Demuestre que es raiz de un polinomio real si y solo si lo es.


Sea solucion de un polinomio real,

entonces

como , por lo tanto tambien es solucion.


--Luis Nava 06:35 30 sep 2009 (UTC)



5. Sean tales que cumplen , demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.

Tenemos que

y, por lo tanto,

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

De (2) y (3) tenemos que:

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo es igual al ángulo y éste a su vez al ángulo , es decir,

Y la ecuación (5) es precisamente la condición para que el triángulo ABC de la Figura 1 sea equilátero.

--Belen 02:48 29 sep 2009 (UTC)


6. Sea , pruebe que


Puesto que el número complejo z puede escribirse como


Se deduce que


Como el cuadrado de un número real no puede ser negativo


Entonces

O sea

O de otra manera


Sumando , a ambos lados se tiene


Como

Entonces

De donde

Sacando raíces cuadradas positivas


Por lo tanto

--Ralf Gutierrez 19:18 29 sep 2009 (UTC)


7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.

Recordando Pitágoras c^2 = a^2 + b^2 (para magnitudes reales) Demo.jpg


Tomamos dos numeros complejos

a = b + ic d = e + if

Para poder demostrar que la suma de los cuadrados de los lados sea igual a la suma del cuadrado de las diagonales necesitamos obtener la magnitud de los numeros complejos anteriores "a" y "d".

|a| = que corresponde a la norma de "a". |d| = que corresponde a la norma de "d".

si |a|^2 = b^2 + c^2 y |d|^2 = e^2 + f^2


Ahora definimos la diagonal como |h| con componentes |a| y|d| obtenemos la magnitud de |h| y tenemos

|h|=

reacomodando.

|h|^2 = |a|^2 + |d|^2 lo que queriamos demostrar.

Por lo tanto tenemos que en un paralelogramo que la suma de los cuadrados de las diagonales son la suma de los cuadrados de los lados. Con lo anterior hemos concluido nuestra demostración.

--Karla 02:17 29 sep 2009 (UTC)Sanchez



--mfg-wiki 21:27 25 sep 2009 (UTC)

1.1.3

1. Calcule las raìces cuadradas de y de .


Aplicando la formula para calcular raices cuadradas de numeros complejos.

si


Por lo tanto las raices de , son:





y para , son:





--Josua Da Vinci 23:44 30 sep 2009 (UTC)

1.1.4

--mfg-wiki 21:27 25 sep 2009 (UTC)