# Compleja:ej-cap1.1

## 1.1.1

1. Demuestre que el producto de números complejos cumple con la ley asociativa

Sean ${\displaystyle z=a+ib,\quad w=c+id,\quad s=e+if\,\quad }$ con ${\displaystyle \quad a,b,c,d,e,f\in {\mbox{R}}}$

Por demostrar ${\displaystyle (zw)s=z(ws)\,}$

${\displaystyle (zw)s=[(a+ib)(c+id)](e+if)=[(ac-bd)+i(bc+ad)](e+if)\,}$

${\displaystyle =[e(ac-bd)-f(bc+ad)]+i[e(bc+ad)+f(ac-bd)=(ace-bde-bcf-adf)+i(bce+ade+acf-bdf)\,}$

Por otra parte

${\displaystyle z(ws)=(a+ib)[(c+id)(e+if)]=(a+ib)[(ce-df)+i(de+cf)]\,}$

${\displaystyle =[a(ce-df)-b(de+cf)]+i[b(ce-df)+a(de+cf)]=(ace-bde-bcf-adf)+i(bce+ade+acf-bdf)\,}$

Entonces se cumple ${\displaystyle (zw)s=z(ws)\,}$.

## 1.1.2

1. Demuestre que ${\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {\left|z\right|}{\left|w\right|}}}$

Sean ${\displaystyle z=a+ib\quad y\quad w=c+id\,}$

${\displaystyle \left|{\frac {z}{w}}\right|=\left|{\frac {a+ib}{c+id}}\right|=\left|{\frac {(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}}\right|}$

${\displaystyle =\left|{\frac {(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^{2}+d^{2}}}\right|={\sqrt {{\bigg (}{\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}{\bigg )}^{2}}}={\frac {1}{c^{2}+d^{2}}}{\sqrt {(ac+bd)^{2}+(bc-ad)^{2}}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{c^{2}+d^{2}}}{\sqrt {a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}}}={\sqrt {{\Bigg [}{\frac {a^{2}(c^{2}+d^{2})}{(c^{2}+d^{2})^{2}}}{\Bigg ]}+{\Bigg [}{\frac {b^{2}(c^{2}+d^{2})}{(c^{2}+d^{2})^{2}}}{\Bigg ]}}}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}}}}$

Por otra parte

${\displaystyle {\frac {\left|z\right|}{\left|w\right|}}={\frac {\left|a+ib\right|}{\left|c+id\right|}}={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}}}=\left|{\frac {z}{w}}\right|}$

2. Exprese ${\displaystyle {\overline {\left({\frac {\left(2+3i\right)^{2}}{4+i}}\right)}}}$de la forma ${\displaystyle x+iy}$

aqui ya comienza su demostración ...

5. Sean ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} }$ tales que cumplen ${\displaystyle {\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}}={\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}}$, demuestre que estos tres puntos determinan un triángulo equilátero.

Tenemos que

${\displaystyle \left|{\frac {z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}}\right|=\left|{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}\right|,\qquad (1)}$

y, por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {|z_{2}-z_{1}|}{|z_{3}-z_{1}|}}={\frac {|z_{1}-z_{3}|}{|z_{2}-z_{3}|}}.\qquad (2)}$

De la Figura 1, vemos que cada una de esas normas de números complejos son exactamente los segmentos de recta que constituyen el triángulo ABC, a saber:

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}|z_{2}-z_{1}|=A\\|z_{3}-z_{1}|=B=|z_{1}-z_{3}|\\|z_{2}-z_{3}|=C\\\end{matrix}}\right\}\qquad (3)}$

De (2) y (3) tenemos que:

${\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {B}{C}}.\qquad (4)}$

Por triángulos semejantes, se tiene que el ángulo ${\displaystyle \beta }$ es igual al ángulo ${\displaystyle \gamma }$ y éste a su vez al ángulo ${\displaystyle \alpha }$, es decir,

${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma .\qquad (5)}$

== 1.1.7 == Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.

Tomamos dos numeros complejos

a = b + ic d = e + if

Para poder demostrar que la suma de los cuadrados de los lados sea igual a la suma del cuadrado de las diagonales necesitamos obtener la magnitud de los numeros complejos anteriores "a" y "d".

|a|= ${\displaystyle {\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}$ que corresponde a la norma de "a". |d|= ${\displaystyle {\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}$ que corresponde a la norma de "d".

Ahora sumamos el cuadrado de los lados y tenemos

( ${\displaystyle {\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}$ )^2 + ( ${\displaystyle {\sqrt {e^{2}+f^{2}}}}$ )^2

Haciendo algebra tenemos

e^2+ f^2 + b^2 +c^2

Ahora desarrollamos a^2 + d^2 ( es la suma de los cuadrados de las diagonales)

donde a^2 = (${\displaystyle {\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}$)^2

d^2= (${\displaystyle {\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}$)^2



y a^2 + d^2 = b^2 + c^2 + e^2 + f^2 Suma de los cuadrados de la diagonal

Por otro lado la suma de los cuadrados de los lados b^2+ c^2+ e^2 + f^2 por lo tanto podemos decir que ha quedado demostrado que la suma de los cuadrados de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de los lados.

--mfg-wiki 21:27 25 sep 2009 (UTC)

## 1.1.4

--mfg-wiki 21:27 25 sep 2009 (UTC)